де R ( x, в ) — раціональна функція х і, а Р ( х ) — многочлен 3-ої або 4-ої міри без кратного коріння.
Під Е. і. першого роду розуміють інтеграл
(1)
під Е. і. другого роду — інтеграл
де до — модуль Е. і., 0 < до < 1 ( х = sin j, t = sin а. Інтеграли в лівих частинах рівності (1) і (2) називаються Е. і. у нормальній формі Якобі, інтеграли в правих частинах — Е. і. у нормальній формі Лежандра. При х = 1 або j = p/2 Е. і називаються повними і позначаються, відповідно, через
і
Своє назв.(назва) Е. і. отримали у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса і = а sin a, v = b cos а( а < b ) . Довжина дуги еліпса виражається формулою
де — ексцентриситет еліпса. Довжина дуги чверті еліпса рівна E ( до ) . Функції, зворотні Е. і., називаються еліптичними функціями .
