Р. широко використовуються в математиці і її застосуваннях як в теоретичних дослідженнях, так і при наближених чисельних вирішеннях завдань. Багато чисел можуть бути записані у вигляді спеціальних Р., з допомогою яких зручно обчислювати їх наближені значення з потрібною точністю. Наприклад, для числа p є Р.
, (3)
для підстави е натуральних логарифмів — Р.
, (4)
а для натурального логарифма In2 — ряд
.
Метод розкладання в Р. є ефективним методом вивчення функцій. Він застосовується для обчислення наближених значень функцій, для обчислення і оцінок інтегралів, для вирішення всіляких рівнянь (алгебрі, диференціальних, інтегральних) і тому подібне
При чисельних розрахунках, коли Р. замінюється кінцевою сумою його перших доданків, корисно мати оцінку отримуваної при цьому погрішності (оцінку «швидкості збіжності» Р.). При цьому доцільно використовувати Р., в яких ці погрішності досить швидкий прагнуть до нуля із зростанням номера n. Наприклад, в разі Р. (4) оцінка вказаної погрішності має вигляд 0 < е — s n < 1 /n ! n.
Одні і ті ж величини можуть виражатися через суми різних рядів. Так, для числа p, окрім Р. (3), є та інші Р., наприклад
,
проте він сходиться значно «повільніше» за Р. (3), і тому його невигідно використовувати для наближеного обчислення числа p . Існують методи перетворення Р., інколи поліпшуючі швидкість збіжності Р.
На безконечні суми не переносяться всі властивості кінцевих сум. Наприклад, якщо узяти Р.
1 - 1 + 1 - 1 +... (5)
і згрупувати підряд його члени по два, то отримаємо (1—1) + (1—1) +... = 0; при іншому ж способі угрупування 1 — (1 — 1) (1 — 1)... = 1. Тому слід дати чітке визначення того, що називається безконечною сумою, і, визначивши це поняття, перевірити, чи справедливі для таких сум закономірності, встановлені для кінцевих сум. Доводиться, що для безконечного числа доданків за певних умов зберігаються закони комутативності і асоціативності складання, дистрибутивності множення відносно складання, правила почленного диференціювання і інтеграції і тому подібне
Числові ряди. Формально Р. (1) можна визначити як пару числових (дійсних або комплексних) послідовностей { u n } і { S n } таких, що S n = u 1 +... + u n , n = 1, 2... Перша послідовність називається послідовністю членів Р., а друга — послідовністю його часткових сум [точніше S n називається частковою сумою n- го порядку Р. (1)]. Р. (1) називається таким, що сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум { S n } . В цьому випадку межа
називається сумою Р. і пишеться
Т. о., позначення (1) застосовується як для самого Р., так і для його суми (якщо він сходиться). Якщо послідовність часткових сум не має межі, то Р. називається таким, що розходиться. Прикладом що сходиться Р. є Р. (2), розходиться — Р. (5). Кожен Р. однозначно визначає послідовність його часткових сум, і назад: для будь-якої послідовності { s n } є і притому єдиний Р. для якого вона є послідовністю його часткових сум, причому члени u n цього Р. визначаються по формулах u 1 = s 1 ..., u n+1 = s n + 1 — s n ..., n = 1, 2... Через це вивчення Р. еквівалентне вивченню послідовностей.
Р. називається залишком порядку n Р. (1). Якщо Р. сходиться, то кожен його залишок сходиться, а якщо який-небудь залишок Р. сходиться, то і сам Р. також сходиться. Якщо залишок порядку n Р. (1) сходиться і його сума рівна r n , то s = s n + r п .
Якщо Р. (1) і Р.
сходяться, то сходиться і Р.
,
званий сумою рядів (1) і (6), причому його сума дорівнює сумі даних Р. Еслі Р.(1) сходиться і l — комплексне число, то Р.
,
званий твором Р. на число l, також сходиться і
.
Умова збіжності Р., що не використовує поняття його суми (у випадках коли, наприклад, сума Р. невідома), дає критерій Коші: для того, щоб Р. (1) сходився, необхідно і досить, щоб для будь-якого e > 0 існував такий номер n e , що при будь-якому n ³ n e і будь-якому цілому р ³ 0 виконувалася нерівність
Велику роль в теорії Р. грають Р. з ненегативними членами. Для того, щоб таким Р. сходився, необхідно і досить, щоб послідовність його часткових сум була обмежена зверху. Якщо ж він розходиться, то
,
тому в цьому випадку пишуть
.
Для Р. з ненегативними членами є ряд ознак збіжності.
Інтегральна ознака збіжності: якщо функція f ( х ) визначена при всіх х ³ 1, ненегативна і убуває, то Р.
(7)
сходиться тоді і лише тоді, коли сходиться інтеграл
.
За допомогою цієї ознаки легко встановлюється, що Р.
(8)
сходиться при а > 1 і розходиться при а £ 1.
Ознака порівняння: якщо для двох Р. (1) і (6) з ненегативними членами існує така постійна з > 0, що 0 £ u n £ з u n , те із збіжності Р. (6) слідує збіжність Р. (1), а з расходімості Р. (1) — расходімость Р. (6). Зазвичай для порівняння береться Р. (8), а в заданому Р. виділяється головна частина вигляду А/n а . Таким методом відразу виходить, що Р. з n -м членом
,
де
сходиться, оскільки сходиться Р.
.
Як наслідок ознаки порівняння виходить наступне правило: якщо
те при а > 1 і 0 £ до < + ¥ Р. сходиться, а при а £ 1 і 0 < до £ + ¥ Р. розходиться. Так, наприклад, Р. з n -м членом u n = sin (1/ n 2 ) сходиться, бо
(а = 2)
а Р. з u n = tg (p/ n ) розходиться, тут
(а = 1)
Часто виявляються корисними два наслідки ознаки порівняння. Ознака Д''Аламбера: якщо існує ( u n > 0), то при l < 1 P. (1) сходиться, а при l > 1 — розходиться; і ознака Коші: якщо існує ( u n ³ 0), то при l < 1 P. (1) сходиться, а при l > 1 P. розходиться. При I = 1 як в разі ознаки Д''Аламбера, так в е р б випадку ознаки Коші існують і що сходяться і розходяться Р.
Важливий клас Р. складають ряди, що абсолютно сходяться: Р. (1) називається таким, що абсолютно сходиться, якщо сходиться Р.
.
Якщо Р. абсолютно сходиться, то він і просто сходиться. Р.
абсолютно сходиться, а Р.
сходиться, але не абсолютно. Сума Р., що абсолютно сходяться, і твір що абсолютно сходиться Р. на число є також абсолютно Р. На, що сходяться, що абсолютно сходяться Р. якнайповніше переносяться властивості кінцевих сум. Хай
(9)
— P., складений з тих же членів, що і Р. (1), але узятих, взагалі кажучи, в іншому порядку. Якщо Р. (1) сходиться абсолютно, то Р. (9) також сходиться і має ту ж суму, що і Р. (1). Якщо Р. (1) і Р. (6) абсолютно сходяться, то Р., отриманий зі всіляких попарних творів u m u n членів цих Р., розташованих в довільному порядку, також абсолютно сходиться, причому якщо сума цього Р. рівний s , а суми Р. (1) і (6) рівні відповідно s 1 і s 2 , то s = s 1 s 2 , тобто що абсолютно сходяться Р. можна почленно перемножувати, не піклуючись про порядок членів. Ознаки збіжності для Р. з ненегативними членами застосовні для встановлення абсолютної збіжності рядів.
Для Р., що не абсолютно сходяться (такі Р. називають такими, що також умовно сходяться), твердження про незалежність їх суми від порядку доданків невірно. Справедлива теорема Рімана: за допомогою належної зміни порядку членів даного що не абсолютно сходиться Р. можна отримати Р., має наперед задану суму, або Р. Прімером, що розходиться, що умовно сходиться Р. може служити Р.
.
Якщо в цьому Р. переставити члени так, щоб за двома позитивними слідував один негативний:
,
те його сума збільшиться в 1,5 разу. Існують ознаки збіжності, застосовні до що не абсолютно сходиться Р. Наприклад, ознака Лейбніца: якщо
,,
те знакопереміжний Р.
(10)
сходиться. Загальніших ознак можна набути, наприклад, за допомогою перетворення Абеля для Р., уявних у вигляді
. (11)
Ознака Абеля: якщо послідовність { а n } монотонна і обмежена, а Р.
сходиться, то Р. (11) також сходиться. Ознака Дирихле: якщо послідовність { а n } монотонно прагне до нуля, а послідовність часткових сум Р.
обмежена, то Р. (11) сходиться. Наприклад, за ознакою Дирихле Р.
сходиться при всіх дійсних a .
Інколи розглядаються Р. вигляду
.
Такого Р. називається таким, що сходиться, якщо сходяться Р.
і
сума цих Р. називається сумою початкового Р.
Р. складнішої структури є кратні ряди, тобто Р. вигляду
,
де — задані числа (взагалі кажучи, комплексні), занумеровані до індексами, n 1 , n 2 ..., n до , кожен з яких незалежно від інших пробігає натуральний ряд чисел. Прості з Р. цього типа — подвійні ряди .
Для деяких числових Р. удається отримати прості формули для величини або оцінки їх залишку, що вельми важливе, наприклад, при оцінці точності обчислень, що проводяться за допомогою Р. Наприклад, для суми геометричної прогресії (2)
r n = q n+ 1 /(1 - q ), ½ q ½< 1,
для P. (7) при зроблених припущеннях
,
а для P. (10)
½ r n ½ £ u n+1
За допомогою деяких спеціальних перетворень інколи удається «поліпшити» збіжність що сходиться Р. В математиці використовуються ті, що не лише сходяться Р., але і розходяться. Для останніх вводяться загальніші поняття суми Р. (див. Підсумовування рядів і інтегралів). Що так, наприклад, розходиться Р. (5) можна підсумувати певним способом до 1 / 2 .
Функціональні ряди . Поняття Р. природним чином узагальнюється на випадок, коли членами Р. є функції u n = u n ( x ) (дійсні, комплексні або, більш у загальних рисах, функції, значення яких належать якомусь метричному простору), визначені на деякій безлічі Е. В цьому випадку ряд
, (11)
називається функціональним.
Якщо Р. (11) сходиться в кожній точці безлічі Е, те він називається таким, що сходиться на безлічі Е. Приклад: Р. сходиться на всій комплексній плоскості. Сума що сходиться Р. безперервних, наприклад, на деякому відрізку, функцій не обов'язково є безперервною функцією. Умови, при яких на функціональних Р. переносяться властивості безперервності, діфференцируємості і інтегрованості кінцевих сум функцій, формулюються в термінах рівномірної збіжності Р. Сходящийся Р. (11) називається таким, що рівномірно сходиться на безлічі Е, якщо в усіх точках Е відхилення часткових сум Р.
при чималих номерах n від суми Р.
не перевищує однієї і тієї ж скільки завгодно малої величини, точніше, як би не було наперед задане число e > Про, існує такий номер n e , що
для всіх номерів n £ n e і всіх точок х Î Е. Ця умова рівносильна тому, що
[ — верхня грань на Е ] . Наприклад, Р.
рівномірно сходиться на відрізку [0, q ] при 0 < q < 1 і не сходиться рівномірно на відрізку [0, 1].
Критерій Коші: для того, щоб Р. (11) рівномірно сходився на безлічі Е, необхідне і досить, щоб для будь-якого e > 0 існував такий номер n e , що для всіх номерів п ³ n e , р . 0 і всіх крапок виконувалася нерівність
Ознака Вейерштраса: якщо існує такий що сходиться числовим Р.
,
що ê,, n = 1, 2..., то Р. (11) рівномірно сходиться на Е.
Сума що рівномірно сходиться Р. безперервних на деякому відрізку (або, більш у загальних рисах, на деякому топологічному просторі) функцій є безперервною на цьому відрізку (просторі) функцією. Сума що рівномірно сходиться Р. інтегрованих на деякому безлічі функцій є інтегрованою на цій безлічі функцією, і Р. можна почленно інтегрувати. Якщо послідовність часткових сум Р. інтегрованих функцій сходиться в середньому до деякої інтегрованої функції, то інтеграл від цієї майже послідовністю часткових сум, що усюди сходиться, є рівномірній функції дорівнює сумі Р. з інтегралів від членів Р. Інтегріруємость в цих теоремах розуміється в сенсі Рімана або Лебега. Для інтегрованих по Лебегу функцій достатньою умовою можливості почленного інтеграції Р. з послідовністю часткових сум, що майже усюди сходиться, є рівномірна оцінка їх абсолютних величин деякою інтегрованою по Лебегу функцією. Якщо члени що сходиться на деякому відрізку Р. (11) діфференцируєми на нім і Р. з їх похідних сходиться рівномірно, то сума Р. також діфференцируєма на цьому відрізку і Р. можна почленно диференціювати.
Поняття функціонального Р. узагальнюється і на випадок кратних Р. В різних розділах математики і її застосуваннях широко використовується розкладання функції у функціональних Р., перш за все в статечні ряди, тригонометричні ряди і, більш у загальних рисах, в Р. по спеціальних функціях деяких операторів.
До поняття безконечних сум підійшли ще вчені Древньою Греції, у них вже зустрічалася сума членів безконечної геометричної прогресії з позитивним знаменником меншим одиниці. Як самостійне поняття Р. увійшов до математики в 17 ст І. Ньютон і Г. Лейбніц систематично використовували Р. для вирішення рівнянь як алгебрі, так і диференціальних. Формальна теорія Р. успішно розвивалася в 18—19 вв.(століття) у роботах Я. і І. Бернуллі, Би. Тейлора, До. Маклорена, Л. Ейлера, Же.Д'' Аламбера, Же. Лагранжа і ін. У цей період використовувалися ті, що як сходяться, так і розходяться Р., хоча не було повної ясності в питанні про законності дій над ними. Точна теорія Р. була створена в 19 ст на основі поняття межі в працях До. Гауса, Би. Больцано, О.Коші, П. Дирихле, Н. Абеля, До. Вейерштраса, Р. Рімана і ін.
Літ.: Маркушевіч А. І., Ряди. Елементарний нарис, 3 видавництва, М., 1957; Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 1—2, М., 1973; Никольський С. М., Курс математичного аналізу, т. 1—2, М., 1973; Хвальків Н. С., Чисельні методи, М., 1973.
