Підсумовування рядів, що розходяться, і інтегралів, побудова узагальненої суми ряду (відповідно значення інтеграла ) , що не має звичайної суми (відповідно значення). Ряди, що розходяться, можуть виходити при перемножуванні рядів, що умовно сходяться, при розкладанні функцій в ряд Фур'є, при диференціюванні і інтеграції функціональних рядів і т. д. Часто зустрічаються ряди, що розходяться, і інтеграли в теорії електромагнітного поля і ін. питаннях сучасної фізики. Ряди, що у багатьох випадках розходяться, і інтеграли можна підсумувати, тобто знайти для них суму (значення) в узагальненому сенсі, що володіє деякими з основних властивостей звичайної суми (значення) ряду, що сходиться (інтеграла). Зазвичай потрібний, щоб з того, що ряд підсумовується до S, а ряд підсумовується до Т, слідувало, що ряд підсумовується до ls + lt, а ряд підсумовується до S — а про . Крім того, найчастіше розглядаються регулярні методи С., тобто методи, що підсумовують кожен ряд, що сходиться, до його звичайної суми. У більшості методів С. ряд, що розходиться, розглядається у відомому сенсі як межа ряду, що сходиться. А саме, кожен член ряду
(1)
умножається на деякий множник l n (t) так, щоб після множення вийшли ряд
(2)
, що сходиться, з сумою d(t). При цьому множники l n (t) вибираються так, щоб при кожному фіксованому n межа l n (t) при деякій безперервній або дискретній зміні параметра t дорівнював 1. Тоді члени ряду (2) прагнуть до відповідних членів ряду (1). Якщо при цьому d(t) має межу, то його називають узагальненою сумою даного ряду, відповідною даному вибору множників (даному методу С.). Наприклад, якщо покласти l n (t) = 1 При n £ t і l n (t) = 0 при n > t і брати t ® ¥, те вийде звичайне поняття суми ряду; при l n ( t ) = t n для t < 1 і t ® 1 виходить метод Абеля — Пуассона. Часто вказується не результат множення членів ряду на l n (t), а відповідні зміни часткових сум ряду. Наприклад, в методі середніх арифметичних Чезаро вважають
,
де
.
Цей метод відповідає вибору l n ( m ) = ( m - n + 1)/( m + 1) при n £ m і l n ( m ) = 0 при n > m . Якщо покласти
,,
,,
і якщо існує, то говорять, що ряд підсумовується до А методом Чезаро до -го порядку. Із зростанням до зростає сила методу Чезаро, тобто розширюється безліч рядів, що підсумовуються цим методом. Всякий ряд, підсумовуваний методом Чезаро якого-небудь порядку, підсумовується і методом Абеля — Пуассона і притому до тієї ж суми. Наприклад, ряд 1— 1 + 1 —... + (—1) n-1 +... підсумовується методом Абеля — Пуассона до значення 1 / 2 , оскільки
.
Метод Чезаро дає те ж значення, оскільки
s 2n = 1, s 2n+l = 0, s 2n = ( n + 1)/(2 n + 1),
s 2n+1 = 1 / 2 .
Методи Чезаро і Абеля — Пуассона застосовуються в теорії тригонометричних рядів для знаходження функції по її ряду Фур'є, оскільки ряд Фур'є будь-якій безперервній функції підсумовується до цієї функції методом Чезаро першого порядку, а тим самим і методом Абеля — Пуассона. У 1901 Р. Ф. Вороною запропонував метод С., окремими випадками якого є всі методи Чезаро. Хай p n ³ 0, p 0 = 0, ; узагальненою сумою ряду, по Вороному, називається межа
.
Метод Вороного регулярний, якщо
.
В 1911 німецького математика О. Тепліц знайшов необхідні і достатні умови, яким повинна задовольняти трикутна матриця || а тn || (де а тn = 0 при n > m ) для того, щоб метод С., визначуваний формулою, був регулярний. Польський математик Х. Штейнхауз узагальнив ці умови на випадок квадратних матриць.
В теорії аналітичних функцій важливу роль грає метод підсумовування Бореля, що дозволяє аналітично продовжити функцію, задану статечним рядом, за кордон круга збіжності. Важливий метод С. тригонометричних рядів був запропонований С. Н. Бернштейном і німецьким математиком Ст Рогозінським. Бернштейн використовував цей метод для здобуття інтерполяційних процесів, що сходяться.
Теорія С. інтегралів, що розходяться, аналогічна теорії С. рядів, що розходяться. Наприклад, якщо інтеграл
розходиться і існує межа
,
те говорять, що перший інтеграл підсумовуємо до А методом Чезаро порядку l.
Літ.: Харді Г., ряди, що Розходяться, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1951; Зігмунд А., Тригонометричні ряди, пер.(переведення) з англ.(англійський), [2 видавництва], т. 1—2, М., 1965; Тітчмарт Е., Введення в теорію інтегралів Фур'є, пер.(переведення) з англ.(англійський), М.— Л., 1948; Варі Н. До., Тригонометричні ряди, М., 1961.
