Межа, одне з основних понять математики. П. — постійна, до якої необмежено наближається деяка змінна величина, залежна від іншої змінної величини, при певній зміні останньої. Простим є поняття П. числової послідовності, за допомогою якого можуть бути визначені поняття П. функції, П. послідовності точок простору, П. інтегральних сум.
Межа послідовності. Хай задана послідовність дійсних чисел x n , n = 1, 2... Число а називається межею цієї послідовності, якщо для будь-якого числа e > 0 існує такий номер n e , що для всіх номерів n ³ n e виконується нерівність | x n — а | < e. В цьому випадку пишеться
(lim — перші букви латинського слова limes), або
x n ® а прі n ® ¥.
Якщо послідовність має П., то говорять, що вона сходиться. Так, послідовність 1/ n, n = 1, 2..., сходиться і має своїм П. число 0. Не всяка послідовність має П., наприклад послідовність 1 —1, 1..., (—1) n+1 ... не має П. Послідовність, що не має П., називається такою, що розходиться. На геометричній мові існування в послідовності П., рівного а, означає, що кожна околиця точки а містить всі члени даної послідовності, за виключенням, мабуть, їх кінцевого числа.
Для П. послідовностей мають місце формули
( з - постійна)
Ці формули справедливі в припущенні, що П., що стоять в їх правих частинах, існують, причому у формулі для П. приватного x n / y n треба ще додатково зажадати, щоб . Якщо x n £ y n і послідовності x n і y n , n = 1, 2... сходяться, то
тобто при граничних переходах нестрогі нерівності зберігаються (але з x n < y n не витікає , наприклад, 1/ n > 0, n = 1, 2... проте ). Якщо і x n £ z n £ y n , те послідовність z n , n = 1, 2, ..., сходиться до того ж П.:
Послідовність a n , n = 1, 2..., що сходиться до нуля, називається нескінченно малою. Послідовність сходиться до якого-небудь числа тоді і лише тоді, коли різниця між членами послідовності і цим числом є нескінченно малою послідовністю (т. о., загальне поняття П. послідовності зводиться до поняття нескінченно малою ) . Так, наприклад, послідовність 1 / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , ..., n /( n + 1),... має своїм П. одиницю, оскільки різниця 1 — n /( n + 1) = 1/( n + 1) n = 1, 2... є нескінченно малою послідовністю.
Всяка зростаюча (що убуває) послідовність, обмежена зверху (відповідно знизу), сходиться. Наприклад, якщо для заданого числа а позначити через a n наближене значення його кореня ( до — натуральне число) з n десятковими знаками після коми, обчислене з недоліком, то a n £ a n+1 £, n = 1, 2 ., тому послідовність a n , сходиться, причому з нерівності 0 £ - a n £ 10 -n слідує, що . Ін.(Древн) прикладом зростаючої обмеженої зверху послідовності є послідовність довжин периметрів правильних багатокутників, вписаних в дане коло, до довжини якої сходиться ця послідовність.
Для того щоб сходилася довільна послідовність x n , необхідне і досить, щоб вона задовольняла критерію Коші: для будь-якого числа e > 0 існує такий номер N e , що для всіх номерів m ³ N e і n ³ N e виконується нерівність | x n — x m | < e.
Якщо послідовність x n , n = 1, 2..., така, що для числа e > 0 існує такий номер n e , що для всіх номерів n ³ n e виконується нерівність | x n | > e, те послідовність x n , називається нескінченно великою і пишеться
Якщо ж при цьому для будь-якого e > 0 існує такий номер n e , що x n > e (соответственно x n < -і) для всіх n ³ n e , те пишеться (відповідно )
Ці П. називаються безконечними. Наприклад . У разі ж послідовності n 2 , n = 1, 2 .,, можна написати не лише але і точніша рівність . Само собою зрозуміло, що нескінченно великі послідовності не є такими, що сходяться в сенсі даного вище визначення цього поняття. На безконечних П. переносяться далеко не всі властивості кінцевих П. Наприклад, послідовності x n = n і y n = — n нескінченно великі, а послідовність x n + y n ,, n = 1, 2..., обмежена і така, що до того ж розходиться.
Часткові межі. Верхня і нижня межі . П. (кінцевий і безконечний) якої-небудь підпослідовності називається частковою межею останньої. Зі всякої обмеженої послідовності можна виділити підпослідовність (теорема Больцано — Вейерштраса), що сходиться, а зі всякої необмеженої — нескінченно велику. У безлічі всіх часткових П. послідовності завжди є як найбільший, так і найменший (кінцевий або безконечний). Найбільший (відповідно найменший) частковий П. послідовності x n , n = 1, 2..., називають її верхньою (відповідно ніжнім) межею і позначається (відповідно ) . Наприклад,
Послідовність має кінцевий або безконечний П. тоді і лише тоді, коли її верхній П. збігається з ніжнім при цьому їх загальне значення і є її П. Конечний верхній П. послідовності можна також визначити як таке число а, що при будь-якому e > 0 існує нескінченно багато членів послідовності, більших, ніж а — e, і лише не більш, ніж кінцеве число членів, більших, ніж а + e .
Межа функції . Хай функція f , що набуває дійсних значень визначена в деякій околиці точки x 0 , окрім, мабуть, самої точки x 0 . Функція f має П. в точці x 0 , якщо для будь-якої послідовності точок x n , n = 1, 2..., x n ¹ x 0 , прагнучою до точки x 0 , послідовність значень функції f ( x n ) сходиться до одного і того ж числа А, яке і називається межею функції f в точці x 0 , (або при x ® x 0 ) при цьому пишеться
або
f ( x ) ® A прі x ® x 0
Через це визначення на П. функцій переносяться властивості П. суми, твори і приватного послідовностей, а також збереження нерівностей при граничному переході.
Визначення П. функції можна сформулювати і не удаючись до поняття П. послідовності: число А називається межею функції f в точці x 0 , якщо для будь-якого числа e > 0 існує таке число d > 0, що для всіх точок х ¹ x 0 що задовольняють умові ½ х — x 0 ½ < d, x ¹ x 0 , виконується нерівність ½ f ( x ) — A½ < e.
Всі основні елементарні функції: постійні, статечна функція х а , показова функція a x , тригонометричні функції sin x, cos x, tg x і ctg x і зворотні тригонометричні функції arcsin x, arccos x, arctg x і arcctg x у всіх внутрішніх точках своїх областей визначення мають П., співпадаючі з їх значеннями в цих крапках. Але це не завжди буває так. Функція
,
що є сумою безконечної геометричної прогресії із знаменником q = 1/(1 + x 2 ) , 0 < q < 1, в точці х = 0 має П., рівний 1, бо f ( x ) = 1 + x 2 при x ¹ 0 . Цей П. не збігається із значенням функції f в нулі: f (0) = 0. Функція ж
, x ¹ 0,
зовсім не має П. при х ® 0, бо вже для значень x n = 1 / (p/2 + p n ) послідовність відповідних значень функції f ( x n ) = ( - 1) n не має П.
Якщо П. функції при х ® х 0 дорівнює нулю, то вона називається нескінченно малою при х ® х 0 . Наприклад, функція sin x нескінченно мала при х ® 0 . Для того, щоб функція f мала при х ® х 0 П., рівний А, необхідно і досить, щоб f ( x ) = A + а( x ) , де а( х ) є нескінченно малою при х ® х 0
Якщо при визначенні П. функції f в точці x 0 розглядаються лише точки х, лежачі лівіше (правіше) точки x 0 , те П., що виходить, називається межею зліва (справа) і позначається (відповідно ).
Функція має П. в деякій крапці, якщо її П. зліва в цій крапці дорівнює її П. справа. Поняття П. функції узагальнюється і на випадок, коли аргумент прагне до нескінченності:
,,
Наприклад,
означає, що для будь-якого e > 0 існує таке d > 0, що для всіх х, що задовольняють умові x > d, виконується нерівність ½ f ( x ) - А½ < e.
Прикладом функцій, що завжди мають П., є монотонні функції . Так, якщо функція f визначена на інтервалі ( а, b ) і не убуває, то в кожній точці х, а < х < b, вона має кінцевий П. як зліва, так і справа; у крапці в П. справа, який кінцевий тоді і лише тоді, коли функція f обмежена знизу, а в точці b П. зліва, кінцевий в тому і лише у тому випадку, коли функція обмежена зверху. Загалом же випадку прагнення до П. може носити різний, необов'язково монотонний характер. Наприклад, функція f ( x ) = x при х ® 0 прагне до нуля, безконечне число разів переходячи від зростання до убування і назад.
Т. н. внутрішній критерій (критерій Коші) існування П. функції в крапці полягає в наступному: функція f має в точці x 0 П. в тому і лише в тому випадку, якщо для будь-якого e > 0 існує таке d > 0, що для всіх точок х'' і х'''', що задовольняють умові ½ х’ - x 0 ½ < d ½ x'''' — x 0 ½ < d, x'' ¹ x 0 , x''’ ¹ x 0 , виконується нерівність ½ f ( x'''' ) — f ( x'' )½ < e.
Для функцій, як і для послідовностей, визначаються поняття безконечних П. вигляду,, і т.д.; у цих випадках функція f називається нескінченно великою при х ® х 0 , При х ® х 0 + 0 або При х ® +¥ відповідно і т.д. Наприклад,
означає, що для будь-якого e > 0 існує таке d > 0, що для всіх х, що задовольняють умові х < -d, виконується нерівність f ( x ) > e .
Розширення поняття межі функції . Якщо функція f визначена на деякій безлічі Е числової прямої і точка x 0 така, що в будь-якій її околиці є точки безлічі Е, те аналогічно даному вище визначенню П. функції, заданої в деякій околиці точки x 0 , окрім, мабуть, самої точки x 0 , визначається поняття межі функції по безлічі Е
,
для цього слідує лише у визначенні П. завжди додатково вимагати, щоб точка х належала безлічі Е: х Î Е. П. послідовності x n , n = 1, 2, ..., є при такому визначенні поняття П. окремим випадком П. функції по безлічі, а саме функції f, визначеною на безлічі натуральних чисел n формулою f ( n ) = x n , n = 1, 2, ....
Функція, рівна нулю при раціональних х і одиниці при ірраціональних, не має П. при х ® 0, проте по безлічі раціональних чисел вона при х ® 0 має П., рівний нулю. Поняття П. числової функції по безлічі переноситься і на функції багатьох змінних. В цьому випадку можна говорити, зокрема, про П. в даному напрямі, про П. по даній кривій, по даній поверхні і т.д. Крім того, для функцій багатьох змінних виникає поняття повторної межі, коли граничний перехід здійснюється послідовно по разним змінним, наприклад . Поширюється поняття П. і на функції, які можуть набувати не лише дійсних, але і комплексних значень.
Межа інтегральних сум . Ще одне важливе поняття П. виникає при визначенні інтеграла . Хай, наприклад, функція f визначена на відрізку [ а, b ] . Сукупність { x i } таких точок x i , що
а = x 0 < x 1 < ... < x i < ... < x n-1 < x n = b,
наз. розбиттям відрізання [ а , b ]. Хай x i-1 £ x I < x i , D x i = x i - x i-1 , i = 1, 2..., n. Тоді сума f (x 1 ) D x 1 + f (x 2 )D x 2 + ... + f (x n ) D x n називається інтегральною сумою функції f . Число А є межею інтегральних сум і називається певним інтегралом:
,
якщо для будь-якого e > 0 існує таке d > 0, що як би не було розбиття { xi } відрізання [ а , b ], для якого D x i < d, і які б не були точки x i , x i-1 £ x I £ x i , i = 1, 2..., n, виконується нерівність
½ f (x 1 ) D x 1 + f (x 2 ) D x 2 +... + f (x n ) D x n - A | < e.
Поняття П. інтегральних сум може бути введене і за допомогою П. послідовності.
Узагальнення поняття межі . Зважаючи на різноманітність спеціальних видів поняття П., що вживаються в математиці, природно виникло прагнення включити їх як окремий випадок в те або інше загальне поняття П. Наприклад, можна ввести поняття П., узагальнювальне як поняття П. функції, так і поняття П. інтегральних сум. Система S непорожніх підмножин деякої безлічі Е називається напрямом, якщо для кожних двох підмножин А і В цієї системи виконується одне з включень А Ì В або B Ì A і пересічення всієї безлічі з S порожньо. Хай на безлічі Е задана числова функція f. Число а називається межею функції f по напряму S, якщо для будь-якого e > 0 існує така безліч А з S, що у всіх його крапках виконується нерівність | f ( x ) — а | < e . При визначенні П. функції f в точці x 0 за напрям слід узяти сукупність всіх околиць цієї крапки з досить малими радіусами за вирахуванням самої точки х 0 . При визначенні П. інтегральних сум функції f , заданою на відрізку [ а, b ], слід розглянути безліч Е, елементами якої є всіляке розбиття відрізання [ а, b ] з вибраними в них точками x i . Підмножини E h безлічі Е, що відповідають розбиттю, довжини D x i , відрізань яких не перевищують h, утворюють напрям. П. інтегральних сум (які, очевидно, є функціями, визначеними на безлічі Е ) по вказаному напряму є інтеграл.
Поняття П. узагальнюється на ширші класи функцій, наприклад на функції, задані на частково впорядкованій безлічі, або на функції, що є відображеннями одного простору (метричного або, більш у загальних рисах, топологічного) на інше. Якнайповніше завдання визначення П. вирішується в топології і означає в загальному випадку, що деякий об'єкт, позначений f ( x ) , змінний при змін ін. об'єкту, позначеного через х, при досить близькому наближенні об'єкту х до об'єкту х 0 скільки завгодно близько наближається до об'єкту А. Основним в такого роду поняттях П. є поняття близькості об'єктів х і x 0 , f ( x ) і А, які потребують математичного визначення. Лише після того, як це буде зроблено, висловленому визначенню П. можна буде додати чіткий сенс і воно стане змістовним. Різні поняття близькості і вивчаються, зокрема, в топології.
Зустрічаються, проте, поняття П. ін. природи, не пов'язані з топологією, наприклад поняття П. послідовності безлічі. Послідовність безлічі A n , n = 1, 2..., називається такою, що сходиться якщо існує така безліч А, зване її межею, що кожна її крапка належить всій безлічі A n , починаючи з деякого номера, і кожна крапка з об'єднання всієї безлічі A n , що не належить A , належить лише кінцевому числу A n .
Історична довідка . До поняття П. впритул підійшли ще старогрецькі учені при обчисленні площ і об'ємів деяких фігур і тіл за допомогою вичерпання методу . Так, Архімед, розглядаючи послідовності вписаних і описаних ступінчастих фігур і тіл, за допомогою методу вичерпання доводив, що різниця між їх площами (відповідно об'ємами) може бути зроблена менше будь-якої наперед заданої позитивної величини. Включаючи уявлення про нескінченно малих, метод вичерпання був зародком теорії П. Однако в явному вигляді в старогрецькій математиці поняття П. не було сформульоване, не було створено і яких-небудь основ загальної теорії.
Новий етап в розвитку поняття П. настав в епоху створення диференціального і інтегрального числень. Р. Галілей, І. Кеплер, Би. Кавальєрі, Би. Паськаль і ін. широко використовують при обчисленні площ і об'ємів «неделімих» метод, метод актуальних нескінченно малих, тобто таких нескінченно малих, які, по їх виставі, є незмінними величинами, не рівними нулю і в той же час меншими по абсолютній величині будь-яких позитивних кінцевих величин. Продовжує в цей період застосовуватися і розвиватися і метод вичерпання (Григорій з Сен-Вінцента, П. Гульдін, Х. Гюйгенс і ін.). На основі інтуїтивного поняття П. з'являються спроби створити загальну теорію П. Так, І. Ньютон перший відділ першої книги («Про рух тіл») своєї праці «Математичні початки натуральної філософії» присвячує своєрідній теорії П. під назвою «Метод перших і останніх стосунків», яку він бере за основу свого флюксій числення . В цій теорії Ньютон замість актуальних нескінченно малих пропонує концепцію «потенційною» нескінченно малою, яка лише в процесі своєї зміни стає по абсолютній величині менше будь-кого покладе, кінцевої величини. Точка зору Ньютона була істотним кроком вперед в розвитку представлення о П. Поняття П., що намічалося в математиків 17 ст, в 18 ст поступово все більше аналізувалося (Л. Ейлер, Же. Д''Аламбер, Л. Карно, брати Бернуллі і ін.) і уточнювалося. У цей період воно служило лише для спроб пояснити правильність диференціального і інтегрального числення і ще не було методом розробки проблем математичного аналізу.
Сучасна теорія П. почала формуватися на початку 19 ст у зв'язку з вивченням властивостей різних класів функцій, перш за все безперервних, а також у зв'язку із спробою доказу існування ряду основних об'єктів математичного аналізу (інтегралів функцій дійсних і комплексних змінних, сум рядів, коріння алгебри і загальніших рівнянь і т.п.). Вперше в роботах О. Коші поняття П. стало основою побудови математичного аналізу. Їм були набуті основних ознак існування П. послідовностей, основних теорем о П. і. що дуже важливе, даний внутрішній критерій збіжності послідовності, що носить тепер його ім'я. Нарешті, він визначив інтеграл як П. інтегральних сум і вивчив його властивості, виходячи з цього визначення. Остаточне поняття П. послідовності і функції оформилося на базі теорії дійсного числа в роботах Би. Больцано і До. Вейерштраса . З подальших узагальнень поняття П. слід зазначити поняття П., дані в роботах С. О. Шатуновського (опубліковано в 1923), американських математиків Е. Г. Мура і Г. Л. Сміта (1922) і французького математика А. Картана (1937).
Літ.: Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. — Л., 1948; Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 1—2, М., 1970; Никольський С. М., Курс математичного аналізу, т. 1—2, М., 1973; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 22 видавництва, т. 1, М., 1967.
