Статечна функція, функція f ( x ) = х а , де а — фіксоване число (див. Міра ) . При дійсних значеннях підстави х і показника а зазвичай розглядають лише дійсні значення С. ф. x а . Вони існують, в усякому разі, для всіх х > 0; якщо а — раціональне число з непарним знаменником, то вони існують також для всіх х < 0; якщо ж знаменник раціонального числа а парний, або якщо і ірраціонально, то x а не має дійсного значення ні при якому х < 0. При х = 0 статечна функція x а дорівнює нулю для всіх а > 0 і не визначена при а < 0; 0° певного сенсу не має. С. ф. (у області дійсних значень) однозначна, за винятком тих випадків, коли а — раціональне число, що змальовується нескоротним дробом з парним знаменником: у цих випадках вона двозначна, причому її значення для одного і того ж значення аргументу х > 0 рівні по абсолютній величині, але протилежні по знаку. Зазвичай тоді розглядається лише ненегативне, або арифметичне, значення С. ф. Для х > 0 С. ф. — що зростає, якщо а > 0, і що убуває, якщо а < 0. С. ф. безперервна і діфференцируєма в усіх точках її області визначення, за винятком точки х = 0, в разі 0 < а < 1 (коли безперервність зберігається, але похідна звертається в нескінченність); при цьому ( x а ) '' = ax a-1 . Далі,
, при а ¹ -1;
в будь-якому інтервалі що міститься в області визначення подинтегральной функції.
Функції вигляду в = cx а , де з — постійний коефіцієнт, грають важливу роль в математиці і її застосуваннях; при а = 1 ці функції виражають пряму пропорційність (їх графіки — прямі, що проходять через початок координат, див. мал.(малюнок) 1 ), при а = —1 — зворотну пропорційність (графіки — рівносторонні гіперболи з центром на початку координат, що мають осі координат своїми асимптотами, див. мал.(малюнок) 2 ). Багато законів фізики математично виражаються за допомогою функцій вигляду в = cx а ( див. мал.(малюнок) 3 ); наприклад, в = cx 2 виражає закон рівноприскореного або равнозамедленного руху ( в — дорога, х — час, 2 з — прискорення; початкова дорога і швидкість дорівнюють нулю).
В комплексної області С. ф. z а визначається для всіх z ¹ 0 формулою:
, (*)
де до = 0 ± 1 ± 2.... Якщо а — ціле, то С. ф. z а однозначна:
.
Якщо а — раціональне (а = p/q, де р і q взаємно прості), то С. ф. z а приймає q різних значень:
де e до = — коріння міри q з одиниці: і до = 0, 1 ., q - 1. Якщо а — ірраціональне, то С. ф. z а — беськонечнозначна: множник e a2k p i приймає для різних до різні значення. При комплексних значеннях а С. ф. z а визначається тією ж формулою (*). Наприклад,
так що, зокрема,, де до = 0 ± 1 ± 2....
Під головним значенням ( z а ) 0 С . ф. розуміється її значення при до = 0, якщо —p< arg z £ p (або 0 £ arg z < 2p). Так, ( z а ) = | z а | e ia arg z , ( i ) 0 =e - p/2 і т.д.
