Зворотні тригонометричні функції , аркфункциі, кругові функції, вирішують наступну задачу: знайти дугу (число) по заданому значенню її тригонометричної функції. Шести основним тригонометричним функціям відповідають шість О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x ») — функція, зворотна sin х ; 2) Arc cos x («арккосинус x ») — функція, зворотна cos х ; 3) Arc tg x («арктангенс x ») — функція, зворотна tg х ; 4) Arc ctg x («арккотангенс x ») — функція, зворотна ctg x ; 5) Arc sec x («арксеканс x ») — функція, зворотна sec x ; 6) Arc cosec x («арккосеканс x ») — функція, зворотна cosec x . Згідно з цими визначеннями, наприклад, х = Arc sin а є будь-яке вирішення рівняння sin х = а , тобто sin Arc sin а = а . Функції Arc sin x і Arc cos x визначені (у дійсної області) для | х| £ 1, функції Arc tg х і Arc ctg х — для всіх дійсних х , а функції Arc sec х і Arc cosec х :—для | х | ³ 1; дві останні функції маловживані.

  Оскільки тригонометричні функції періодичні, то зворотні до них функції є багатозначними функціями. Певні однозначні гілки (головні гілки) цих функцій позначаються так: arc sin х , arc cos x ..., arc cosec x . Саме, arc sin х є та гілка функції Arc sin х , для якої — p/2 £ arc sin х £ p/2. Аналогічно, функції arc cos х , arc tg х і arc ctg х визначаються з умов: 0 £ arc cos х £ p, — p/2 < arc tg x < p /2 , 0 <arc ctg x < р. На мал. змальовані графіки функцій в = Arc sin x , в = Arc cos x , в = Arc tg x , в = Arc ctg x ; головні Arc cos x = ± arc cos x +2p n, гілки цих функцій виділені жирною лінією. О. т. ф. Arc sin х ... легко виражаються через arc sin x ..., наприклад

n = 0 ±1, ±2, .

  Відомі співвідношення між тригонометричними функціями приводять до співвідношень між О. т. ф., наприклад з формули

витікає, що

Похідні О. т. ф. мають вигляд

О. т. ф. можуть бути представлені статечними рядами, наприклад

ці ряди сходяться для —1 £ x £ 1.

  О. т. ф. можна визначити для довільних комплексних значень аргументу; проте їх значення будуть дійсними лише для вказаних вище значень аргументу. О. т. ф. комплексного аргументу можуть бути виражені за допомогою логарифмічної функції, наприклад

.

  Літ.: Новоселів С. І., Зворотні тригонометричні функції, 3 видавництва, М. 1950.