Тригонометричні функції , один з найважливіших класів елементарних функцій.

  Для визначення Т. ф. зазвичай розглядають коло одиничного радіусу з двома взаємно перпендикулярними діаметрами A''A і B''B ( мал. 1 ). Від точки А по колу відкладаються дуги довільної довжини, які вважаються позитивними, якщо відкладаються у напрямі від А до В (проти годинникової стрілки), і негативними, якщо вони відкладаються в напрямі від А до B'' (за годинниковою стрілкою). Якщо З — кінець дуги, що має довжину j, то проекція OP радіусу OC на діаметр A''A називається косинусом дуги j ( OP = cos j). При цьому під проекцією OP розуміється довжина направленого відрізання, узята із знаком плюс, якщо точка Р лежить на радіусі OA , і із знаком мінус, якщо вона лежить на радіусі OA''; Проекція OQ радіусу OC на діаметр B''B (рівна + OQ , якщо точка Q лежить на радіусі OB , і рівна - OQ , якщо вона лежить на радіусі OB'' ) називається синусом дуги j ( OQ = sin j). Т. ф. cos j і sin j не можуть набувати значень, по абсолютній величині тих, що перевершують 1, тобто

|cosj| £ 1 |sinj| £ 1.

  Інакше cosj і sinj можуть бути визначені як прямокутні декартові координати точки З , лежачому на дузі колу одиничного радіусу, центр якого на початку координат, вісь абсцис направлена по діаметру A''A , а вісь ординат — по діаметру B''B .

  Оскільки центральний кут в мірі радіану вимірюється тим же числом, що і дуга (радіус кола дорівнює одиниці), то cosj і sinj можна розглядати як косинус і синус кута. Взагалі під аргументом Т. ф. прийнято розуміти число, яке можна розглядати геометрично як довжину дуги або міру радіану кута. Якщо аргумент Т. ф. розглядають як кут, то його значення може бути виражене і в градусній мірі. Для гострих кутів j (0 < j < p/2), і лише для них, Т. ф. cos j і sin j можна розглядати як відношення катетів прямокутного трикутника, прилеглого куту або що протилежить куту, до гіпотенузі. Дуга AB кола називається 1-ою її чвертю, відповідно дуги BA'' — 2-й, A''B'' — 3-й, B''A — 4-й чвертями. Для кутів j з 1-ої чверті: cosj > 0, sinj > 0, з 2-ої чверті: cosj < 0, sinj > 0, з 3-ої чверті: cosj < 0, sinj < 0, з 4-ої чверті: cosj > 0, sinj < 0. Крім того, cosj — парна функція: cos (—j) = cosj, а sinj — непарна функція: sin (—j) = —sinj.

  З допомогою основних Т. ф. можна визначити інші Т. ф.: тангенс tgj = sinj /cosj, котангенс ctgj = cosj /sinj, секанс secj = 1/cosj, косеканс cosecj = 1/sinj. При цьому tgj і secj визначаються лише для таких j, для яких cosj ¹ 0; а ctgj і cosecj для тих j, для яких sinj ¹ 0; функція secj — парна, а функції cosecj, tgj і ctgj — непарні. Ці функції також можуть бути представлені геометрично відрізками прямих ( мал. 1 ): tgj = AL , ctgj = BK , secj = OL , cosecj = OK (для гострих кутів j і відповідними відрізками для інших кутів). З цією геометричною виставою зв'язано і походження назв Т. ф. Так, латинське tangens означає дотичну (tgj зображається відрізком AL дотичної до кола), secans — січну (secj зображається відрізком OL січною до кола). Назва «синус» (лат. sinus — вигин, пазуха) представляє собою переведення арабського «джайб», що є, мабуть, спотворенням санскритського слова «джіва» (буквально — тятива лука), яким індійські математики позначали синус. Назви «косинус», «котангенс», «косекансом» є скорочення терміну complementi sinus (синус доповнення) і йому подібних, виражаючих той факт, що cosj, ctgj і cosecj рівні відповідно синусу, тангенсу і секансу аргументу (дуги або кута), додаткового до j (до або, в градусній мірі, до 90°):

cosj = sin ( — j); ctgj = tg ( — j);

cosecj = sec ( — j).

  Подібно до синуса і косинуса, останні Т. ф. для гострих кутів можуть розглядатися як стосунки сторін прямокутного трикутника: тангенс і котангенс як стосунки катетів (що протилежить до прилеглого і навпаки), а секанс і косеканс як стосунки гіпотенузи відповідно до прилеглим катетам, що протилежать.

  Оскільки крапка З, що є кінцем дуги j, служить одночасно кінцем дуг j + 2p, j + 4p ¼ (2p — довжина кола), то все Т. ф. виявляються періодичними. При цьому основним періодом функцій sinj, cosj, secj, cosecj є число 2p (кут в 360°), а основним періодом tgj і ctgj — число p (кут в 180°). Графіки Т. ф. див.(дивися) на мал. 2.

  Значення Т. ф. одного і того ж аргументу зв'язані між собою рядом співвідношень:

sin ² j + cos ² j = 1,

tg ² j + 1 = sec ² j; ctg ² j + 1 = cosec ² j.

Для деяких значень аргументу значення Т. ф. можуть бути отримані з геометричних міркувань (таблиця.).

  Для великих значень аргументу можна користуватися так званими формулами приведення, які дозволяють виразити Т. ф. будь-якого аргументу через

  Т. ф. аргументу j, що задовольняє співвідношенню 0 £ j £ або навіть 0 £ j £, що спрощує складання таблиць Т. ф. і користування ними, а також побудова графіків. Ці формули мають вигляд:

          (1)

  по-перше трьох формулах n може бути будь-яким цілим числом, причому верхній знак відповідає значенню n = 2 до , а ніжній — значенню n = 2 до + 1; у останніх — n може бути лише непарним числом, причому верхній знак береться при n = 4 до + 1, а ніжній при n = 4 до — 1.

  Найважливішими тригонометричними формулами є формули складання, що виражають Т. ф. суми або різниці значень аргументу через Т. ф. цих значень:

          (2)

знаки в лівій і правій частинах всіх формул погоджені, тобто верхньому (ніжнему) знаку зліва відповідає верхній (ніжній) знак справа. З них, зокрема, виходять формули для Т. ф. кратних аргументів, наприклад:

Часто бувають корисні формули, що виражають міри sin і cos простого аргументу через sin і cos кратного, наприклад:

.

  Формули для cos ² j і sin ² j можна використовувати для знаходження значень Т. ф. половинного аргументу:

          (3)

  Знак перед коренем вибирається залежно від величини .

  Суми або різниці Т. ф. різних аргументів можуть бути перетворені в твори по наступних формулах:

          (4)

  в першій і останній формулах (4) знаки погоджені. Навпаки, твори Т. ф. можуть бути перетворені в суму або різницю по формулах:

;

;

.

  Похідні всіх Т. ф. виражаються через Т. ф.:

;

;

;

;

;

.

  При інтеграції Т. ф. виходять Т. ф. або їх логарифми:

,

,

,

,

,

.

  Інтеграли від раціональних комбінацій Т. ф. завжди є елементарними функціями.

  Все Т. ф. допускають розкладання в статечні ряди . При цьому функції sin x і cos x представляються рядами, що сходяться для всіх значень х :

;

.

  Ці ряди можна використовувати для здобуття наближених виразів sin  x і cos  x при малих значеннях х :

а), би) .

  Тригонометрична система 1, cos x , sin x , cos2 x , sin2 x ¼, cos nx , sin nx ¼, утворює на відрізку [—p, p] ортогональну систему функцій, що дає можливість представлення функцій у вигляді тригонометричних рядів (див. Фур'є ряд ).

  Для комплексних значень аргументу значення Т. ф. можуть бути визначені за допомогою статечних рядів. Т. ф. комплексного аргументу пов'язані з показовою функцією формулою Ейлера:

.

  Звідси можна отримати вирази для sin x і cos  x через показові функції чисто уявного аргументу (які також називають формулами Ейлера):

,

Ці формули також можуть бути використані для визначення значень cos z і sin z для комплексного z . Для чисто уявних значень z = ix ( х — дійсне) отримуємо:

,,

  де ch  x і sh  x — гіперболічний косинус і синус (див. Гіперболічні функції ). Навпаки,

.

Синус і косинус комплексного аргументу можуть набувати дійсних значень, що перевершують 1 по абсолютній величині. Наприклад:

.

  Т. ф. комплексного аргументу є аналітичними функціями, причому sin  z і cos  z — цілі функції, а tg  z , ctg  z , sec z, cosec  z — мероморфниє функції . Полюси tg z і sec z знаходяться в точках z = p/2 + p n , а ctg  z і cosec  z в точках z = p n ( n = 0 ± 1 ± 2 ¼). Аналітична функція w = sin z здійснює конформне відображення напівсмуги —p <  x  < p, в  > 0 плоскість z на плоскість w без відрізання дійсної осі між крапками —1 і +1. При цьому сімейства променів х = x ₀ і відрізань в  =  в ₀ переходять відповідно в сімейства софокусних гіпербол і еліпсів. Удвічі вужча смуга —p/2 <  x  < p/2 перетвориться у верхню напівплощину.

  Рівняння х = sin  в визначає в як багатозначну функцію від х . Ця функція є зворотною по відношенню до синуса і позначається в = Arc sin  x . Аналогічно визначаються функції, зворотні по відношенню до косинуса, тангенса, котангенса, секансу і косекансу: Arc cos  x , Arc tg  x , Arc ctg  x , Arc sec  x , Arc cosec  x . Всі ці функції називаються зворотними тригонометричними функціями (у іноземній літературі інколи ці функції позначаються sin ^—1 z, cos ^—1 z і т.д.).

  Т. ф. виникли вперше у зв'язку з дослідженнями в астрономії і геометрії. Співвідношення відрізань в трикутнику і кола, що є по суті Т. ф., зустрічаються вже в 3 ст до н.е.(наша ера) в роботах математиків Древньої Греції — Евкліда, Архімеда, Аполонія Пергського і ін. Проте ці співвідношення не є у них самостійним об'єктом дослідження, так що Т. ф. як такі ними не вивчалися. Т. ф. розглядалися спочатку як відрізки і в такій формі застосовувалися Аристархом (кінець 4 — 2-я половина 3 вв.(століття) до н.е.(наша ера)), Гиппархом (2 ст до н.е.(наша ера)), Менелаєм (1 ст н.е.(наша ера)) і Птолемеєм (2 ст н.е.(наша ера)) при вирішенні сферичних трикутників. Птолемей склав першу таблицю хорд для гострих кутів через 30'' з точністю до 10 ^—6 . Це була перша таблиця синусів. Як відношення функція sin j зустрічається вже в Аріабхати (кінець 5 ст). Функції tg j і ctg j зустрічаються в аль-Баттані (2-я половина 9 — почало 10 вв.(століття)) і Абуль-Вефа (10 ст), який вживає також sec j і cosec j. Аріабхата знав вже формулу (sin ² j + cos ² j) = 1, а також формули (3), за допомогою яких побудував таблиці синусів для кутів через 3°45''; виходячи з відомих значень Т. ф. для простих аргументів . Бхаськара (12 ст) дав спосіб побудови таблиць через 1 за допомогою формул (2). Формули (4) виводилися Региомонтаном (15 ст) і Дж. Непером в зв'язку з винаходом останнім логарифмів (1614). Региомонтан дав таблицю значень синуса через 1''. Розкладання Т. ф. у статечні ряди отримано І. Ньютоном (1669). У сучасну форму теорію Т. ф. привів Л. Ейлер (18 ст). Йому належать визначення Т. ф. для дійсного і комплексного аргументів, прийнята нині символіка, встановлення зв'язку з показовою функцією, ортогональності системи синусів і косинусів.

  Літ.: Півників Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра і елементарні функції, ч. 1—2, М., 1966; Шабат Би. Ст, Введення в комплексний аналіз, М., 1969, с. 61—65.

Мал. 2. Графіки тригонометричних функцій: 1 — синуса; 2 — косинуса; 3 — тангенса; 4 — котангенса; 5 — секанса; 6 — косеканса.

Мал. 1 до ст. Тригонометричні функції.