Ціла функція, функція, аналітична у всій плоскості комплексного змінного (див. Аналітичні функції ). Прикладами Ц. ф. можуть служити многочлен алгебри а 0 + а 1 z +... + а n z n , функції sin z , cos z , e z . Нескінченно видалена крапка є, взагалі кажучи, ізольованою особливою точкою Ц. ф. Для того, щоб нескінченно видалена крапка була усуненою особливою крапкою (відповідно полюсом), для Ц. ф. f ( z ) необхідне і досить, щоб f ( z ) була постійна (відповідно була многочленом алгебри). Якщо точка z = ¥ є істотно особливою крапкою для Ц. ф. f ( z ), те f ( z ) називають трансцендентною Ц. ф. Такі, наприклад, функції sin z, cos z, e z .
Для того, щоб f ( z ) була Ц. ф., необхідно і досить, щоб принаймні для однієї точки z 0 мало місце співвідношення
В цьому випадку розкладання f ( z ) в ряд Тейлора
сходитиметься по всій плоскості комплексного змінного.
Основою для класифікації трансцендентних Ц. ф. служить швидкість росту М-коду ( r ) функції, визначуваної рівністю
Величину
називають порядком Ц. ф. f ( z ) . В працях А. Пумнкаре, Же. Адамара і Е. Бореля була встановлена зв'язок між порядком Ц. ф. і розподілом її нулів.
