Показова функція

Показова функція , експоненціальна функція, важлива елементарна функція

f ( z ) = e ^z ,

позначається інколи exp z ; зустрічається в багаточисельних додатках математики до природознавства і техніки. Для будь-якого значення z (дійсного або комплексного) П. ф. визначається співвідношенням

;

  Очевидно, що e ⁰ = 1; при n = 1 значення П. ф. рівне е — підставі натуральних логарифмів. П. ф. володіє наступними основними властивостями:

 і

при будь-яких значеннях z ₁ і z ₂ , крім того, на дійсній осі ( мал. ) П. ф. e ^x > 0 і при n ® ¥ зростає швидше за будь-яку міру х, а при х ® - ¥ убуває швидше за будь-яку міру 1/ x:

,,

який би не був показник n. Функцією, зворотною по відношенню до П. ф., є логарифмічна функція : якщо w = e ^z , те z = ln w .

  Розглядається також П. ф. a ^z при підставах а > 0, відмінних від е [наприклад, в шкільному курсі математики для дійсних значень z = х розглядаються П. ф. 2 ^x , ( ¹ / ₂ ) ^x і т.д.]. П. ф. a ^z зв'язана с П. ф. e ^z (основний) співвідношенням

a ^z = e ^zlna .

  П. ф. e ^x є цілою трансцендентною функцією . Вона допускає наступне розкладання в статечній ряд:

,     (1)

що сходиться у всій плоскості z. Рівність (1) також може служити визначенням П. ф.

  Вважаючи z = х + iy, Л. Ейлер отримав (1748) формулу:

e ^z = e ^x+iy = e ^x (cos в + i sin в ),      (2)

що зв'язує П. ф. з тригонометричними функціями . З неї витікають співвідношення:

.

  Функції

 ch в  = sh в

називаються гіперболічними функціями, володіють рядом властивостей, схожих з властивостями тригонометричних функцій, і грають поряд з останніми важливу роль в різних додатках математики.

  Із співвідношення (2) виходить, що П. ф. (комплексного змінного z ) має період 2p i, тобто e ^{z+2 p i} = e ^z або e ^{2 p i} = 1. Похідна П. ф. дорівнює самій функції: ( e ^z ) '' = e ^z .

  Вказаними властивостями П. ф. визначаються її багаточисельні застосування. Зокрема, П. ф. виражає закон (т.з. закон природного зростання), що визначає перебіг процесів, швидкість яких пропорційна готівковому значенню величини, що змінюється; прикладом можуть служити хімічні мономолекулярні реакції або, за відомих умов, зростання колоній бактерій. Періодичність П. ф. комплексного змінного поряд з іншими її властивостями є причиною, по якій ця функція грає виключно важливу роль при вивченні всяких періодичних процесів, зокрема коливань і поширення хвиль.

Мал. до ст. Показова функція.