Логарифмічна функція , функція, зворотна до показовій функції . Л. ф. позначається
в = ln x ; (1)
її значення в, відповідне значенню аргументу х , називається натуральним логарифмом числа х . В силу визначення співвідношення (1) рівносильне
х = е в (2)
( е — неперово число ) . Т. до. e в > 0 при будь-якому дійсному в , то Л. ф. визначена лише при х > 0. У загальнішому сенсі Л. ф. називають функцію
в = log а X
де а > 0 (а ¹ 1) — довільна підстава логарифмів. Проте в математичному аналізі особливе значення має функція INX; функція log а X приводиться до неї по формулі:
log а x = Minx,
де М-код = 1/in а. Л. ф. — одна з основних елементарних функцій ; її графік ( мал. 1 ) носить назву логаріфміки. Основні властивості Л. ф. витікають з відповідних властивостей показової функції і логарифмів; наприклад, Л. ф. задовольняє функціональному рівнянню
In x +ln в = ln xy .
Для - 1 < х , 1 справедливе розкладання Л. ф. у статечній ряд:
ln(1 + x )= x
Багато інтеграли виражаються через Л. ф.; наприклад
,
.
Л. ф. постійно зустрічається в математичному аналізі і його застосуваннях.
Л. ф. була добре відома математикам 17 ст Вперше залежність між змінними величинами, що виражається Л. ф., розглядалася Дж. Непером (1614). Він представив залежність між числами і їх логарифмами за допомогою двох крапок, рухомих по паралельних прямих ( мал. 2 ). Одна з них (У) рухається рівномірно, виходячи із З, а інша (X), починаючи рух з А, переміщається з швидкістю, пропорційною її відстані до В. Еслі покласти СУ(Збори узаконень)= в , ХВ = х , то, згідно з цим визначенням, dx/dy = - kx , звідки .
Л. ф. на комплексній плоскості є багатозначною (беськонечнозначной) функцією, визначеною при всіх значеннях аргументу z ¹ 0 позначається Ln z . Однозначна гілка цієї функції, визначувана як
In z = In½ z ½+ i arg z ,
де arg z — аргумент комплексного числа z , носить назву головного значення Л. ф. Маємо
Ln z = ln z + 2 до p i , до = 0 ±1, ±2, ...
Всі значення Л. ф. для негативних: дійсних z є комплексними числами. Перша задовільна теорія Л. ф. у комплексній плоскості була дана Л. Ейлером (1749), який виходив з визначення
