Логарифм числа N по підставі а, показник міри m, в яку слід звести число а, щоб отримати N; позначається log а N. Отже, m = log а N, якщо а м-код = N. Наприклад, log 10 100 = 2; log 2 1 / 32 = - 5; log а 1 = 0, оскільки 100 = 10 2 , 1 / 32 = 2 -5 , 1 = a 0 . При негативних а безконечні багато позитивних чисел не мало б дійсних логарифмів, тому береться а > 0 і а ¹ 1. З властивостей логарифмічній функції витікає, що кожному позитивному числу відповідає при даній підставі єдності. дійсний Л. (логарифми негативних чисел є комплексними числами). Основні властивості Л.:
log а (MN) = log а M + log а N;
log а M/n = log а M - log а N;
log а N до = до log а N;
log а log а N
дозволяють зводити множення і ділення чисел до складання і віднімання їх Л., а піднесення до ступеня і витягання кореня — до множення і ділення Л. на показник міри або кореня, тобто до простіших дій.
Коли підстава а фіксовано, говорять про певну систему Л. Відповідно до десяткового характеру нашого рахунку найбільш споживані десяткові Л. (а = 10), що позначаються lg N. Для раціональних чисел, відмінних від 10 до з цілим до, десяткові Л. суть трансцендентні числа, які приблизно виражають в десяткових дробах. Цілу частина десяткового Л. наз.(назив) характеристикою, дріб — мантисою. Оскільки lg(10 до N)= до + lgn, то десяткові Л. чисел, що відрізняються множником 10 до , мають однакові мантиси і розрізняються лише характеристиками. Ця властивість лежить в основі побудови таблиць Л., які містять лише мантиси Л. цілих чисел (див. Логарифмічні таблиці ) .
Велике значення мають також натуральні Л., підставою яких служить трансцендентне число e = 2,71828...; їх позначають lnn. Перехід від однієї підстави Л. до іншого здійснюється по формулі log b N = log а N/log а b, множник 1/log а b називається модулем переходу (переведення) від підстави а до підстави b. Для переходу від натуральних Л. до десяткових або назад маємо
lnn = Ign/lge, lgn = Inn/ln10;
1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429....
Історична довідка. Відкриття Л. було пов'язано в першу чергу з швидким розвитком астрономії в 16 ст, уточненням астрономічних спостережень і ускладненням астрономічних викладень. Автори перших таблиць Л. виходили із залежності між властивостями геометричної прогресії і складеною з показників міри її членів арифметичної прогресії. Ці залежності, частково помічені ще Архімедом (3 ст до н.е.(наша ера)), були добре відомі Н. Шюке (1484) і німецькому математикові М. Штіфелю (1544). Перші логарифмічні таблиці були складені одночасно і незалежно один від одного Дж. Непером (1614, 1619) і швейцарським математиком І. Бюрги (1620). Важливий крок в теоретичному вивченні Л. зробив бельгійського математика Григорій з Сен-Вінцента (1647), що виявив зв'язок Л. і площ, обмежених дугою гіперболи, віссю абсцис і відповідними ординатами. Представлення Л. безконечним статечним рядом дане Н. Меркатором (1668), що знайшов, що
In(1+ x )= x
Незабаром потім Дж. Грегорі (1668) відкрив розкладання
ln.
Цей ряд дуже швидко сходиться, якщо М-код = N + 1 і N досить великий; тому він може бути використаний для обчислення Л. У розвитку теорії Л. велике значення мали роботи Л. Ейлера . Їм встановлено поняття про логарифмування як дію, зворотну піднесенню до ступеня.
Термін «Л.» запропонував Дж. Непер; він виник з поєднання грецьких слів logos (тут — відношення) і arithmos (число); у античній математиці квадрат, куб і так далі стосунки а/b називаються «подвійними», «потрійними» і так далі відношенням. Т. о., для Непера слова «lógu arithmós» означали «число (кратність) відношення», тобто Л. в Дж. Непера — допоміжне число для виміру відношення двох чисел. Термін «натуральний логарифм» належить Н. Меркатору, «характеристика» — англійському математикові Р. Брігсу, «мантиса» в нашому сенсі — Л. Ейлерові, «підстава» Л. — йому ж, поняття про модуль переходу ввів Н. Меркатор. Сучасне визначення Л. вперше дано англійським математиком В. Гардінером (1742). Знак Л. — результат скорочення слова «Л.» — зустрічається в різних видах майже одночасно з появою перших таблиць [напр., Log — в І. Кеплера (1624) і Г. Брігса (1631), log і 1. — Би. Кавальєрі (1632, 1643)].
Літ.: Маркушевіч А. І., Площі і логарифми, М. — Л., 1952; Історія математики, т. 2, М., 1970.
