Трансцендентне число число (дійсне або уявне), що не задовольняє жодному рівнянню алгебри з цілими коефіцієнтами. Таким чином, Т. ч. протиставляються числам алгебри . Існування Т. ч. вперше встановив Же. Ліувіль (1844). Відправною крапкою для Ліувіля служила його теорема, згідно якої порядок наближення раціонального дробу з даним знаменником до даного ірраціонального числа алгебри не може бути довільне високим. Саме, якщо число алгебри а задовольняє рівнянню алгебри міри n , що не приводиться, з цілими коефіцієнтами, то для будь-якого раціонального числа повинна виконуватися нерівність ( з залежить лише від а ). Тому, якщо для заданого ірраціонального числа а можна вказати безконечну безліч раціональних наближень, що не задовольняють приведеній нерівності ні при яких з і n (одних і тих же для всіх наближень), то а є Т. ч. Приклад такого числа дає:
.
Інший доказ існування Т. ч. дав Р. Кантор (1874), відмітивши, що безліч всіх чисел алгебри рахунковий (тобто всі числа алгебри можуть бути перенумеровані; див.(дивися) Безлічі теорія ), тоді як безліч всіх дійсних чисел численна. Звідси витікало, що безліч Т. ч. численно, і далі, що Т. ч. складають основну масу серед безлічі всіх чисел.
Найважливіше завдання теорії Т. ч. — це з'ясування того, чи є Т. ч. значення аналітичних функцій, що володіють тими або іншими арифметичними і аналітичними властивостями при значеннях алгебри аргументу. Завдання цього роду належать до важких завдань сучасної математики. У 1873 Ш. Ерміт довів, що неперово число є трансцендентним.
В 1882 німецького математика Ф. Ліндеман отримав загальніший результат: якщо а — число алгебри, то е а — Т. ч. Результат Ліпдемана був значно узагальнений німецьким математиком К. Зігелем (1930), що довів, наприклад, трансцендентну значення широкого класу циліндрових функцій при значеннях алгебри аргументу. У 1900 на математичному конгресі в Парижі Д. Гильберт серед 23 невирішених проблем математики вказав на наступну: чи є трансцендентним числом a b , де а і b — числа алгебри, причому b — ірраціональне число, і, зокрема, чи є трансцендентним число, е p (проблема трансцендентної чисел вигляду a b була вперше в приватній формі поставлена Л. Ейлером, 1744). Повне вирішення цієї проблеми (у ствердному сенсі) удалося отримати лише в 1934 А. О. Гельфонду . З відкриття Гельфонда, зокрема, витікає, що всі десяткові логарифми натуральних чисел (тобто «табличні логарифми») суть Т. ч. Методи теорії Т. ч. додаються до низки запитань вирішення рівнянь в цілих числах.
Літ.: Гельфонд А. О., Трансцендентні і алгебра числа, М., 1952.
