Вичерпання метод, метод доказу, що застосовувався математиками старовини при знаходженні площ і об'ємів. Назва «Метод вичерпання» введена в 17 ст
Типова схема доказу при допомозі І. м. може бути викладена в сучасних позначеннях так: для визначення величини А будується деяка послідовність величин C 1 , C 2 ..., C n , ... так, що
C n < A ; (1)
передбачають також відомим таке В , що
C n < В (2)
і при будь-якому цілому До для чималих n задовольняються нерівності
До ( A — C n ) < D , До ( В — C n ) < D , (3)
де D — постійно. З сучасної точки зору, для переходу від нерівностей (3) до рівності
А = В (4)
досить відмітити, що з умов (1), (2) і (3) слідує
Математики старовини, що не мали в своєму розпорядженні теорії меж, зверталися до доказу від осоружного і доводили неможливість кожної з нерівностей А < У , В < А . Щоб спростувати перше з них, за допомогою аксіоми Евдокса — Архімеда (див. Архімеда аксіома ) встановлювали, що для R = B — А існує таке До , що KR > D і через умову (1) отримували
До ( В — C n ) > До ( В — A ) > D ,
що протіворечит другому з нерівностей (3). Аналогічно спростовувалося інше припущення. Після цього залишалося прийняти лише рівність (4).
Введення І. м. разом з лежачою в його основі аксіомою приписується Евдоксу Кнідському. Цим методом широко користувався Евклід, а з особливим мистецтвом і різноманітністю — Архімед. Наприклад, для визначення площі сегменту А параболи Архімед будує площаді C 1 , C 2 ..., «вичерпні» при їх поступовому наростанні площу A сегменту, за схемою, ясною з креслення. При цьому
Замість того щоб вдатися до граничного переходу,
Архімед геометрично доводить, що при будь-якому n
Вводячи площу
Архімед отримує, що
і, слідуючи викладеному вище порядку, закінчує доказ того, що
