Числення, заснований на чітко сформульованих правилах формальний апарат операції із знаками певного вигляду, що дозволяє дати вичерпно точний опис деякого класу завдань, а для деяких підкласів цього класу (лише для найбільш простих І., співпадаючих з ним) — і алгоритми рішення. Прикладами І. можуть служити сукупність арифметичних правил операції з цифрами (тобто числовими знаками), «буквене» І. елементарної алгебри, диференціальне І., інтегральне І., варіаційне І. і інші гілки математичного аналізу і теорії функцій. Не дивлячись на раннє походження, термін «І.» уживався в математиці до недавнього часу без строгого загального визначення. З розвитком математичної логіки возникла потреба в загальній теорії І. і в уточненні самого поняття «І.», яке піддалося більш послідовній формалізації. У більшості випадків, проте, виявляється достатнім наступне (що йде від Д. Гильберта ) уявлення про І. Рассматріваєтся деякий (взагалі кажучи, безконечний, хоча і, мабуть, що задається за допомогою кінцевого числа символів) алфавіт, з елементів якого, іменованих буквами, за допомогою чіткий сформульованих правил освіти будуються формули того, що розглядається І. (звані також інколи словами, або виразами). Деякі з таких («правильно побудованих») формул оголошуються аксіомами, а з них за допомогою правил перетворення (або, інакше, правил виводу) «виводяться» нові формули, звані теоремами даного І. Іногда термін «І.» відносять лише до «словарної» («виразною») частини описаної побудови, кажучи, що приєднання до неї «дедуктивної» частини (тобто додавання до алфавіту і правил утворення аксіом і правил введення) дає формальну систему. Втім, ці терміни часто вважають синонімічними (і як синоніми користуються також термінами «логістична система», «формалізм», «формальна теорія» і багатьма ін.). Якщо таке неінтерпретоване («безглузде») І. зіставити з деякою інтерпретацією (або, як то кажуть, доповнити чисто синтаксичні розгляди деякою семантикою; див.(дивися) Логічна семантика ) то отримують формалізована мова . Представлення змістовних логічних (і логіко-математичних) теорій у вигляді формалізованих мов є характерна особливість математичної логіки (див. також Доказ ).
Літ.: Кліні С. До., Введення в метаматематику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957 § 14—20; Марков А. А., Теорія алгоріфмов, М-код.—Л., 1954 (Тр. Математичного інституту ім. Ст А. Стеклова, т. 42); Каррі Х. Би., Підстави математичної логіки, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1969, гл.(глав) 2; Математична теорія логічного виводу, Збірка переведень, під ред. А. Ст Ідельсона, Р. Е. Мінца, М., 1967; Логічні і логіко-математичні числення, 1, Сб. робіт, під ред. Ст П. Оревкова, Л., 1968.
