Доказ в логіці, процес (метод) встановлення істини, обгрунтування істинності думки . Відповідно до різних можливих аспектів і рівнів розгляду і вживання понять «істина» («істинність») і «обгрунтування» термін «Д.» допускає ряд поніманій, що відрізняються один від одного по мірах спільності і визначеності. Проте у всіх модифікаціях поняття Д. виразно просліджуються дві протилежні (але зв'язані між собою) тенденції. Перша обумовлена відносністю і змістовним характером поняття істини, оскільки воно означає відповідність, більш менш точну і повну, деякій частині реальної дійсності. Друга — пов'язана з тим, що Д. (саме Д., а не просто аргумент на користь даного твердження) повинно гарантувати істинність тези — саме у цьому полягає специфіка поняття Д., що виділяє його з ширшого класу процедур, які природніше називати підтвердженнями тез і які можуть володіти більшою або меншою мірою переконливості. Інакше кажучи, поняття Д. повинно служити повним підтвердженням істинності доводжуваної пропозиції, а тому носити дедуктивний (див. Дедукція ) характер; звідси тенденція до все більшою формалізації поняття Д. Т. о., в понятті Д. поміщено глибоке протиріччя: поняття це по-справжньому потрібно для вирішення завдань, що в принципі не допускають повного, вичерпного, остаточного рішення; удається ж довести це поняття до ідеалу повної визначеності лише для тих ситуацій, де рішення, в деякому розумінні, заздалегідь зумовлене і полягає вже в самій постановці завдання — при Д. так званих логічно дійсних думок, для яких лише і удається провести повністю формалізовані (і що тим самим не залишають жодної невизначеності і недомовленості) Д.
Зіставлення змістовних і формальних аспектів поняття «Д.» виявляється перш за все у відмінності широкого і вузького розуміння цього терміну.
Д. у широкому сенсі — це будь-яка процедура встановлення істинності якої-небудь думки (називається тезою, або висновком, даного Д.): як за допомогою деяких логічних міркувань, так і за допомогою плотського сприйняття деяких фізичних предметів і явищ, а також заслань (вказівок або згадок) на такі сприйняття. Саме такий характер мають Д. у юридичній практиці, де термін «Д.» застосовують до такого роду одиничним вказівками навіть для найменування самих вказуваних предметів — звідси вирази «пред'явити Д. (доказ)», «речове Д.». Такі і обгрунтування більшої частини затверджень гуманітарних наук, а в ще виразнішій формі — емпіричні (дослідні: експериментальні або засновані на даних спостережень) Д. у природних науках. Хоча все такі Д. (якщо не рахувати Д. деяких одиничних фактів, що зводяться до безпосереднього висновку з однократного «пред'явлення доказу») включають як складові частини дедуктивні фрагменти — висновки, що зв'язують заслання на досвід з доводжуваною (і проміжними) тезою, проте все ці Д. можна вважати індуктивними: у них має місце перехід від приватних посилок до загальних висновків (індукція ), здійснюваний (найчастіше в неявній формі) по правилах індуктивної логіки.
Д. у вузькому сенсі слова, характерні для дедуктивних наук (логіки, математики і побудованих по їх зразку і на їх основі розділів теоретичної фізики і теоретичної кібернетики), є ланцюжками висновків (правильних), ведучих від дійсних посилок (початкових для даного Д. думок) до доводжуваних (завершальним) тез. Посилки Д. також іменуються його підставами, або аргументами, або аргументами; терміни ці, проте, не менше частий застосовуються для позначення проміжних переходів від посилок до висновку або всякого роду пояснень (коментарів), супроводжуючих такі переходи в подібних посилок Д. Істінность не повинна обгрунтовуватися в самому Д., а повинна яким-небудь чином встановлюватися заздалегідь. Послідовний розвиток цієї традиційної (що йде від Арістотеля) концепції Д., пов'язане з аксіоматичним методом, зажадало (в кінці 19 ст) істотного її уточнення і навіть передивляється. Якщо прийняття аксіом як дійсні пропозиції ще узгоджувалося з класичними виставами (досить було, здавалося, зажадати їх емпіричного обгрунтування), те відкриття можливості побудови різних аксіоматичних систем (наприклад, нєєвклідових геометрії), придатних, принаймні в принципі, для опису однієї і тієї ж фізичної реальності, змусило відкинути уявлення про аксіоми і як про «істини самоочевидних», і як про емпіричні істини. Така вистава (що йде ще від грецької науки) перечила, як виявилось, можливості приймати як аксіоми різних конкретних геометричних систем (але, звичайно, не однієї і тієї ж системи) твердження, що є запереченнями один одного, і можливості класти в основу наукових теорій (а тим самим — і як посилки Д.) пропозиції, що відкрилася у зв'язку з цим, питання про істинність яких не лише не зумовлене із самого початку, але може навіть і не ставитися. Інакше кажучи, виявилася відносність зіставлення понять виведення (з гіпотез ) і Д. — адже аксіоми (незалежно від їх гіпотетичної «істинності» або «помилковості») це і є гіпотези, на яких грунтується Д.
Але цей передивляється поняття Д., вироблений на рубежі 19 і 20 вв.(століття) Д. Гільбертом, не був до кінця послідовним. У зв'язку з проблемами несуперечності наукових теорій (упевненість в якій вже не могла більше базуватися на упевненості в істинності вихідних положень теорії), що загострилися, Гільберт висунув програму формалізації Д. дедуктивних теорій, що передбачає не лише явну вказівку всіх вихідних понять і вихідних пропозицій (аксіом) кожної даної теорії, але і таку ж явну вказівку всіх використовуваних у виводах (зокрема, в Д.) цієї теорії логічних засобів. При такій постановці питання проблема переконливості (правильності) Д. отримує (вперше!) абсолютно об'єктивний характер. Д. (точніше, формальне Д.) розглядається просто як «строчка формул», кожна з яких є або аксіома (тобто належить до деякого заздалегідь виділеного списку «відмічених» формул), або безпосередньо слідує по одному з правил виводу (також точно перерахованих) з попередніх формул строчки. Висновок даного Д. — це просто його остання формула (зокрема, Д. будь-якої аксіоми складається всього з однієї формули — з неї самої). При такому трактуванні дана наукова теорія перестає бути теорією в звичному сенсі: вона виявляється представленою у вигляді числення, або формальної системи, що складається з формул, що виходять з формул деякого початкового запасу (аксіом) за допомогою чисто «механічного» вживання правил виводу (вживання яких, так само як і перевірка правильності цього вживання, не передбачає жодного «змістовного» їх розуміння). Формула, для якої існує формальне Д., називається доказовою формулою, або формальною теоремою.
Т. о., реалізація цієї частини гильбертовськой програми дозволила здійснити ідеал, висунутий ще Р. Ст Лейбніцом : «замінити міркування обчисленням». Для перевірки тієї обставини, чи є дана строчка формул Д., існує простий, одноманітний і притому чисто механічний метод — алгоритм . Для з'ясування того, чи є довільна дана формула теоремою, такий алгоритм можливий лише для небагатьох, відносно простих формальних теорій, але це обставина не унеможливлює машинного пошуку виводу (пошуку Д.) для багатьох важливих класів формул, і розробка таких машинних алгоритмів виводу є одним з перспективних напрямів математичної логіки, теорії алгоритмів і теоретичної кібернетики.
Представлення Д. у вигляді строчок (лінійних послідовностей) формул — не єдино можливе; часто буває зручнішим визначати формальні Д. як «дерева» формул, «гілками» яких служать посилки вживань правил виводу. Така форма Д. виявилася, зокрема, зручною для зроблених в рамках гильбертовськой теорії доказів німецьким математиком Г. Генценом (1934) досліджень логічних виводів; у запропонованих їм модифікаціях логічних числень у вигляді так званих числень «природного виводу» формальні логічні засоби ближче по своїй структурі до звичайних (змістовним) методів висновків, ніж в первинній гильбертовськой схемі. Аксіом в цих численнях немає (або зовсім мало), але введені додаткові правила виводу, так що в результаті загальний «запас теорем», що виводяться новими і колишніми засобами, виявляється одним і тим же. Т. о., відмінність між формальними аксіомами і змістовними правилами виявляється також відносною.
Послідовна формалізація поняття Д. відкриває можливість передачі багатьох «творчих» функцій людини електронним обчислювальним машинам. Але з цього не виходить висновок про можливість зведення всіх змістовних аспектів поняття Д. до формальних — правила виводу, хоча вони і мають справу з формальними об'єктами (формулами), формулюються на змістовній мові, а всі проблеми, що стосуються природи формальних числень в цілому, ставляться і вирішуються чисто змістовними засобами (див. Метатеорія ). Саме ці змістовні міркування (і змістовні Д.) складають предмет самої теорії Д.
Більш того, виявилось, що завдання повної і одночасно несуперечливої формалізації навіть таких відносно простих математичних теорій, як арифметики (теорія чисел), в принципі неосуществіма, так що в них завжди є деякий залишок, що не «формалізується» (див. також Аксіоматична теорія безлічі ). Нарешті, жодна формалізація дедуктивних теорій не знімає проблеми їх інтерпретації, тобто співвідношення з деякою описуваною ними і зовнішній для них реальності (також, мабуть, високій мірі абстракції, що складається з об'єктів), адекватність якого лише і може бути кінець кінцем обгрунтуванням істинності теорії в цілому. Природно, що в рамках математичної логіки набуває все більший вплив та частина доктрини (альтернативною по відношенню до гильбертовськой концепції) математичного інтуїционізма (значною мірою сприйнятою представниками конструктивного напряму ), згідно якої поняття строгого математичного Д. (не говорячи вже про загальне поняття Д.) взагалі не може бути вичерпано жодним «раз назавжди даним» формальним визначенням.
той, що Ще рішучіший передивляється уявлень про суть аксиоматіко-дедуктівніх методів зроблений в рамках так званої ультраїнтуїционістськой програми. Ультраїнтуїционізм, для якого, зокрема, характерне прагнення послідовного і неухильного дотримання (у застосуванні до дедуктивних наук) достатнього підстави принципу, з одного боку, пропонує гранично широке розуміння змістовного (дедуктивного) Д., з іншої — висуває концепцію формального Д., що враховує як схему «формаліста» Гільберта, так і її інтуїционістськую критику, і в той же час настільки гнучку, що використання її дозволяє сподіватися на подолання в проблемах обгрунтування математики і логіки що здавалися раніше непереборними обмежень, обумовлених результатами Геделя.
Літ.: Енгельс Ф., Анті-Дюрінг, Маркс До. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 20; Ленін Ст І., Матеріалізм і емпіріокритицизм, Полн. собр. соч.(вигадування), 5 видавництво, т. 18; Арістотель, Аналітики перша і друга, пер.(переведення) з греч.(грецький), Л., 1952; Початки Евкліда, пер.(переведення) з греч.(грецький) і коментарі Д. Д. Мордухай-Болтовського, кн. 1—15, М-код.—Л., 1948—50; Бекон Ф., Новий органон, пер.(переведення) з англ.(англійський), М-кодом.—Л., 1938; Мілль Дж. С., Система логіки силогізмом і індуктивною, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1914; Гільберт Д., Підстави геометрії, пер з йому.(німецький), М-код.—Л., 1948; Рассел Би., Людське пізнання, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957; Тарський А., Введення в логіку і методологію дедуктивних наук, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1948; Гейтинг А., Інтуїционізм, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1965; Кліні С. До., Введення в математику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957; Пойа Д., Математика і правдоподібні міркування, пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1—2, М., 1957; Асмус Ст Ф., Вчення логіки про доказ і спростування, [М.], 1954; Старченко А. А., Логіка в судовому дослідженні, М., 1958.
