Математичний інтуїционізм, філософсько-математична течія, що відкидає теоретико-множинне трактування математики і що рахує інтуїцію єдиним джерелом математики і головним критерієм строгості її побудов. Висхідна до античної математики інтуїционістськая традиція в тій або іншій мірі розділялася такими ученими, як До. Ф. Гаус, Л. Кронекер, А. Пумнкаре, А. Лебег, Е.Борель, Р. Вейль . З розгорнутою критикою класичної математики і радикальною програмою інтуїционістського перевлаштування математики виступив на початку 20 століття Л. Е. Я. Брауер . Формування цієї програми, яку нині і прийнято називати «інтуїционізмом» (сам Брауер використовував термін «неоїнтуїционізм»), проходіло в гострій полеміці з математичним формалізмом на тлі викликаного антиноміями теорії безлічі кризи підстав математики. Брауер рішучим чином відкидав як віру в актуальний характер безконечної безлічі (див. Нескінченність в математиці), так і правомірність екстраполяції в область безконечного вироблених для кінцевих совокупностей законів традиційної логіки. Згідно інтуїционістським переконанням, предметом дослідження математики є розумові побудови що розглядаються як такі «безвідносно до таких питань про природу конструйованих об'єктів, як питання, чи існують ці об'єкти незалежно від нашого знання про них» (А. Гейтинг, Нідерланди). Математичні твердження — суть деяка інформація про виконані побудови. Поводження з розумовими побудовами вимагає особливої логіки — так званої інтуїционістськой логіки, що не приймає, зокрема, в скільки-небудь повному об'ємі виключеного третього принципу .
В серії статей починаючи з 1918 Брауер і його послідовники здійснили побудову основних розділів інтуїционістськой математики — теорії безлічі, математичного аналізу, топології, геометрія і так далі. В даний час (70-і роки 20 століть) інтуїционістськая математика є досить глибокий розробленим напрямом. Вимоги інтуїционістськой програми обгрунтування математики приводять до того, що деякі розділи традиційної математики набувають вельми незвичайного вигляду. Це пов'язано з відмовою розглядати актуально задану безконечну безліч як об'єкт дослідження і з вимогою ефективності всіх здійснюваних побудов. Вельми своєрідним є основне знаряддя М. і. — концепція послідовності (у іншій термінології — послідовності вибору), що вільно стає, і пов'язане з нею нове трактування числового континууму як «середовища становлення» послідовності раціональних інтервалів, що подрібнюються (на противагу традиційній точці зору, що конструює континуум з окремих крапок). У своїй простій формі послідовність (ссп), що вільно стає, є функція, що переробляє натуральні числа в натуральних і така, що будь-яке її значення може бути ефективно обчислене. Точне дослідження показує, що слід розрізняти декілька видів ссп в залежності від міри інформації, відомої дослідникові про ссп. Вважаючи критерієм вірності побудов перш за все інтуїцію, і на противагу формалізму, Брауер заперечував проти спроб формалізації інтуїционістськой математики і, зокрема, інтуїционістськой логіки. Але «інтуїція» інтуїционізма, незалежно від філософських установок і поглядів на неї Брауера і Вейля, — це, в основній своїй частині, наочна розумова переконливість простих конструктивних процесів (див. Конструктивна математика ), що складається у людей в процесі їх соціального розвитку, вчення і виховання і як така що сповна допускає дослідження точними методами. Значні успіхи були досягнуті у вивченні інтуїционістськой логіки саме після того, як основні її закони були точно сформульовані у вигляді числень, до яких можна було застосовувати точні методи математичної логіки. Можна згадати, наприклад, відому інтерпретацію інтуїционістського числення предикатів, запропоновану А. Н. Колмогоровим, занурення класичної формальної арифметики в інтуїционістськую (До. Гедель ), доказ незалежності логічних в'язок і неможливість представлення інтуїционістського числення предикатів у вигляді кінцевозначної логіки (До. Гедель), теорію моделей для інтуїционістськой логіки і багато інших фактів, що з'ясовують значення і особливості інтуїционістськоє логіки в порівнянні з класичною, які принципово не могли б бути отримані без попереднього точного формулювання. Точне формулювання законів інтуїционістськой логіки і інтуїционістськой арифметики було запропоноване вже в 30-і роки 20 століть Гейтингом. Задовільна побудова теорії ссп і вищих розділів інтуїционістськой математиків було завершено лише до 70-м-коду рокам (С. Кліні та інші). М. і. знаходиться у стадії подальшої інтенсивної розробки. Увага М. і. до ефективності отримуваних результатів знаходиться в прекрасній згоді з обчислювальною тенденцією в сучасній математиці і залучає до інтуїционістськой логіки велике число плідно працюючих математиків. У СРСР група математиків-логіків на чолі з А. А. Марковом займається розробкою конструктивної математики — близького к М. і. напрями (див. Конструктивний напрям в математиці).
Літ.: Вейль Р., Про філософію математики. Збірка робіт, переклад з німецького, М. — Л., 1934; Гейтинг А., Інтуїционізм, переклад з англійського, М., 1965; Френкель А. А., Бар-Хиллел І., Підстави теорії безлічі, переклад з англійського, М., 1966.
