Нескінченність в математиці. «Математичне безконечне запозичене з дійсності, хоча і несвідомим чином, і тому воно може бути пояснене лише з дійсності, а не з самого себе, не з математичної абстракції» (Енгельс Ф., Анті-Дюрінг, 1966, с. 396). Матеріальна основа математичного безконечного може зрозуміти лише за умови, що воно розглядається в діалектичній єдності з кінцевою. Кожна математична теорія зв'язана обов'язковою для неї вимогою внутрішньої формальної несуперечності. Тому виникає питання про те, як з'єднати цю вимогу з істотно суперечливим характером дійсності: Б. «Знищення цього протиріччя було б кінцем нескінченності» (там же, с. 47). Відповідь на це питання полягає в наступній. Коли в теорії меж розглядаються безконечні межі lim a n = ¥, або в теорії безлічі — безконечні потужності, то це не приводить до внутрішніх формальних протиріч у вказаних теоріях лише тому, що ці різні спеціальні види математичних Би. є лише украй спрощеними образами різних сторін, що схематизували, Би. дійсного світу.
Завдання справжньої статті обмежуються вказівкою на різні підходи к Б. у математиці, освітлювані детальніше в інших статтях.
1) Уявлення про нескінченно малих і нескінченно великих змінних величинах є одним з основних в математичному аналізі. Що передувала сучасному підходу до поняття нескінченно малою концепція, по якій кінцеві величини складалися з нескінченно великого числа нескінченно малих «неделімих» (див. «Неделімих» метод ), трактуючи не як змінні, а як постійні і менші будь-якої кінцевої величини, може служити одним з прикладів незаконного відриву безконечного від кінцевого: реальний сенс має лише розкладання кінцевих величин на необмежено зростаюче число необмежено убуваючих доданків.
2) Зовсім в іншій логічній обстановці Б. з'являється в математиці у вигляді «невласних» нескінченно видалених геометричних образів (див. Нескінченно видалені елементи ) . Тут, наприклад, нескінченно видалена крапка на прямій а розглядається як особливий постійний об'єкт, «приєднаний» до звичайних кінцевих крапок. Проте нерозривний зв'язок безконечного з кінцевим виявляється і тут, хоч би при проектуванні з центру, лежачого зовні прямий, при якому нескінченно видаленій крапці виявляється відповідною пряма, що проходить через центр проектування і паралельна основною прямою а.
Аналогічний характер має поповнення системи дійсних чисел двома «невласними» числами +¥ і -¥, відповідне багатьом запитам аналізу і теорії функцій дійсного змінного. Можна підійти з такої ж точки зору і до поповнення ряду натуральних чисел 1, 2, 3..., трансфінітними числами w, w + 1..., 2w, 2w + 1.... У зв'язку з відмінністю між змінними нескінченно малими і нескінченно великими величинами, з одного боку, і «невласними» нескінченно великими числами, що розглядаються як постійні, — з іншою, виникли терміни «потенційна» Б. (для перших) і «актуальна» Б. (для других). У цьому первинному розумінні (про інше, сучасному розумінні, див.(дивися) нижчий) спор між прибічниками актуальною і потенційною Б. можна вважати закінченим. Нескінченно малі і нескінченно великі, лежачі в основі визначення похідної (як стосунки нескінченно малих) і інтеграла (як суми нескінченно великого числа нескінченно малих) і концепцій математичного аналізу, що примикають сюди, повинні сприйматися як «потенційні». Поряд з цим в належній логічній обстановці в математику сповна закономірно входять і «актуальні» нескінченно великі «невласні» числа (і навіть в багатьох різних аспектах: як кількісні і порядкові трансфінітні числа в теорії безлічі, як невласні елементи + ¥ і -¥ системи дійсних чисел і т.д.).
В математиці доводиться мати справу з двома способами приєднання до числової системи безконечних «невласних» елементів.
а) З проектної точки зору на прямій знаходиться одна «нескінченно видалена крапка». У звичайній метричній системі координат цій крапці природно приписати абсцису ¥. Таке ж приєднання до числової системи однієї Б. без знаку уживається в теорії функцій комплексного змінного. У елементарному аналізі при вивченні раціональних функцій
де Р ( х ) і Q ( x ) — многочлени, в тих крапках, де Q ( x ) має нуль вищого порядку, ніж Р ( х ) , природно покласти f ( x ) = ¥ . Для невласного елементу ¥ встановлюються такі правила дій:
¥ + а = ¥, якщо а звичайно;
¥ + ¥ не має сенсу;
¥ · а = ¥, якщо а ¹ 0;
¥ · 0 не має сенсу.
Нерівності з участю ¥ не розглядаються: безглуздо запитувати, більше або менше ¥, чим кінцеве а.
би) При вивченні дійсних функцій дійсного змінного систему дійсних чисел доповнюють двома невласними елементами +¥ і -¥. Тоді можна покласти, що -¥ < а < +¥ для будь-якого кінцевого а, і зберегти основні властивості нерівностей в розширеній числовій системі. Для +¥ і -¥ встановлюються такі правила дій:
(+¥) + а = +¥, якщо а ¹ - ¥;
(-¥) + а = -¥, якщо а ¹ +¥;
(+¥) + (-¥) позбавлено сенсу;
(+¥) ´· а = +¥, якщо а > 0;
(+¥) ´ а = - ¥, якщо а < 0;
(-¥) ´·а = -¥, якщо а > 0;
(-¥) ´ а = +¥, якщо а < 0;
(+¥) ´ 0 і (¥) ´ 0 позбавлені сенсу.
В кожному математичному міркуванні слід віддавати собі звіт, користуємося ми в нім справжньою (не розширеною) числовою системою або розширеною, і в якому саме з двох вказаних сенсів.
3) Основний інтерес, але і основні труднощі математичного учення о Б. зосереджуються зараз на питанні про природу безконечної безлічі математичних об'єктів. Слідує, зокрема, мати на увазі, що досягнута нині повна виразність і закінченість теорії нескінченно великих і нескінченно малих змінних величин полягає лише в зведенні всіх труднощів цієї теорії до питанню обгрунтування вчення про число, в яке істотно входить представлення о Б. системи чисел. Твердження про те, що в нескінченно мало, має сенс лише при вказівці характеру зміни в залежно від якого-небудь іншого змінного х; наприклад, говорять, що в нескінченно мало при х ® а, якщо при будь-якому e > 0 існує таке d > 0, що з | х - а | < d витікає |у| < e. У саме це визначення вже входить припущення, що функція в = f ( x ) визначена для безконечної безлічі значень х (наприклад, для всіх дійсних х, досить близьких до а ). Про безконечну безліч в математиці детальніше за див.(дивися) Безлічі теорія .
В теорії безлічі термінам «актуальна» і «потенційна» Б. додають зазвичай глибокий сенс, що не має нічого спільного з найменуванням кожної безконечної потужності «актуально безконечним числом». Річ у тому, що безконечні системи математичних об'єктів (наприклад, натуральних або дійсних чисел) ніколи не задаються простим перерахуванням, як це можливо для кінцевих систем об'єктів. Було б очевидним абсурдом передбачати, що хто-небудь «утворив» безліч натуральних чисел, перерахувавши їх фактично «все» одне за іншим. На самій справі безліч натуральних чисел вивчають, виходячи з процесу утворення його елементів переходом від n до n + 1. В разі континууму дійсних чисел вже розгляд одного його елементу — дійсного числа — приводить до вивчення процесу утворення його послідовних наближених значень, а розгляд всієї безлічі дійсних чисел приводить до вивчення загальних властивостей такого роду процесів утворення його елементів. У цьому саме сенсі сама Б. натурального ряду, або системи всіх дійсних чисел (континуум), може характеризуватися як Би. лише «потенційна». Точці зору потенційної Б. протівополагаєтся погляд на безконечну безліч як «актуально» задані, незалежно від процесу їх освіти. З'ясування питання про те, якою мірою і за яких умов при вивченні безконечної безлічі законне таке абстрагування від процесу їх освіти, ще не можна вважати закінченим. Див. Безлічі теорія, Логіка, Математика .
