Трансфінітні числа (від транс. і лат.(латинський) finitus — обмежений), узагальнені порядкові числа. Визначення Т. ч. спирається на поняття сповна впорядкованої безлічі (див. Впорядкована і частково впорядкована безліч ). Кожну кінцеву безліч можна зробити сповна впорядкованим, виписавши всі його елементи в певному порядку. Простим прикладом безконечної сповна впорядкованої безлічі є безліч всіх натуральних чисел, розташованих в порядку зростання; та ж безліч, розташована в порядку убування (отже більше вважається передуючим меншому), вже не буде сповна впорядкованою, оскільки жодне його безконечна підмножина не має першого елементу. Дві впорядкована безліч Х і Y називаються подібними або такими, що мають одного і того ж порядкового типа, якщо між їх елементами можна встановити взаємна однозначна відповідність, що зберігає порядок елементів (тобто таке, що для будь-яких двох елементів x'' , х» безлічі Х і відповідних ним елементів y'' , в» безлічі Y з x'' < x» слідує у'' < в» і назад). Вся кінцева сповна впорядкована безліч, що містить однакове число елементів, подібна між собою. Тому порядкових типів кінцевої сповна впорядкованої безлічі можна ототожнити з натуральними числами, які з'являються, таким чином, як порядкові числа (тоді як, характеризуючи кількість елементів безлічі, ті ж натуральні числа виступають в іншому своєму аспекті — кількісних чисел).
Трансфінітними числами називаються порядкові типи безконечної сповна впорядкованої безлічі. Тим самим поняття Т. ч. є поширенням поняття порядкового числа на безконечну безліч. Аналогічне узагальнення поняття кількісного числа приводить до поняття потужності безлічі . Оскільки нерівнопотужну безліч не можна поставити у взаємно однозначну відповідність, то сповна впорядкованим безлічі різної потужності відповідають різні Т. ч. Проте зворотне (на відміну від випадку кінцевої безлічі) невірно: безконечна сповна впорядкована безліч може бути рівнопотужною, не будучи подібними і тим самим визначаючи різні Т. ч.
Для Т. ч. можна ввести поняття «більше» і «менше». Саме, Т. ч. а , за визначенням, менше Т. ч. b ( а < b ), якщо яке-небудь (а значить, і будь-яке) сповна впорядкована безліч типа а подібно до деякого відрізку якої-небудь (а отже, і будь-якого) безлічі типа b (відрізком сповна впорядкованої безлічі, відсіченим елементом х , називається підмножина його елементів, передуючих х ). При цьому доводиться, що для будь-яких два Т. ч. а і b завжди здійснюється один і лише один з трьох випадків: або а < b , або а = b , або а > b .
У вживанні Т. ч. до різних питань математики важливу роль грає принцип трансфінітної індукції, узагальнювальний звичайний принцип математичній індукції на довільну сповна впорядковану безліч: якщо деяка пропозиція вірна для першого елементу сповна впорядкованої безлічі Х і якщо з того, що воно вірне для всіх елементів безлічі X , передуючих даному елементу x з безлічі X , слідує його справедливість і для елементу х , то ця пропозиція вірна для кожного елементу безлічі X .
