Впорядкована і частково впорядкована безліч (математічексие), безліч, в якій яким-небудь чином встановлений порядок дотримання їх елементів або, відповідно, частковий порядок. Поняття порядку і часткового порядку дотримання елементів визначаються таким чином. Говорять, що для пари елементів х, в безлічі М-коду встановлений порядок, якщо вказано, який з цих елементів слідує за іншим (якщо в слідує за х або, що те ж саме, х передує в, те пишуть х в, в х ) . Говорять, що в безлічі М-коду встановлений частковий порядок дотримання елементів, якщо для деяких пар його елементів встановлений порядок, причому виконані наступні умови: 1) жоден елемент не слідує сам за собою; 2) якщо х в і в z, те х z (транзитивність відношення порядку). Може статися, що в частково впорядкованій безлічі М-коду порядок не встановлений ні для якої пари елементів М. З ін. сторони, може статися, що порядок встановлений для всіх пар різних елементів М-коду, в цьому випадку частковий порядок дотримання елементів, встановлений в безлічі М-коду, називають просто порядком дотримання елементів, або лінійним порядком (впорядкована безліч, таким чином, є виглядом частково впорядкованої безлічі). Наприклад, вважатимемо, що комплексне число а’ + b’i слідує за комплексним числом і а + bi, якщо а’ > а і b’ > b. Будь-яка безліч комплексних чисел стає тоді частково впорядкованою. Зокрема, частково впорядкованою стає будь-яка безліч дійсних чисел (що розглядаються як спеціальний випадок комплексних). Т. до. при цьому порядок дотримання такий, що дійсне число а’ слідує за дійсним числом а тоді і лише тоді, коли а’ більше а, те всяка безліч дійсних чисел виявляється навіть просто впорядкованою. Поняття частково впорядкованої (інакше – напіввпорядкованого) і впорядкованої безлічі належать до основних загальних понять математики (див. Безлічі теорія ) ,
Сповна впорядкована безліч. Впорядкована безліч називається сповна впорядкованою, якщо кожна його підмножина володіє першим елементом (тобто елементом, за яким слідують всі інші). Вся кінцева впорядкована безліч сповна впорядкована. Натуральний ряд, впорядкований за збільшенням (а також деякими ін. способами), утворює сповна впорядковану безліч. Важливість сповна впорядкованої безлічі визначається головним чином тим, що для них справедливий принцип трансфінітної індукції (див. Трансфінітні числа ) .
Впорядкована безліч, що має однакового порядкового типа, володіє і однаковою потужністю, так що можна говорити про потужність даного порядкового типа. З ін. сторони, кінцева впорядкована безліч однакової потужності має одного і того ж порядкового типа, так що кожній кінцевій потужності відповідає певний кінцевий порядковий тип. Положення міняється при переході до безконечної безлічі. Дві безконечна впорядкована безліч можуть мати одну і ту ж потужність, але різні порядкові типи.
Направлена безліч. Частково впорядкована безліч називається направленою, якщо для всяких його елементів х і в існує такий елемент z, що z х і z в ( а b означає, що або а b, або а = b ) . Поняття направленої безлічі дозволяє дати вельми загальне визначення межі. Хай f ( p ) - числова (для простоти) функція, задана на направленій безлічі М-коду; число з називається межею f ( p ) по направленій безлічі М-коду, якщо для всякого e > 0 знайдеться такий елемент , що для всіх p з М-коду таких, що р ³ р виконується нерівність . Це визначення дозволяє встановити всі звичайні властивості межі і охоплює вельми широкий клас окремих випадків.
Історична довідка. Теорію впорядкованої безлічі створив Р. Кантор . В 1883 він ввів поняття сповна впорядкованої безлічі і порядкового числа, а в 1895 – поняття впорядкованої безлічі і порядкового типа. У 1906–07 С. О. Шатуновський сформулював визначення направленої безлічі (в Шатуновського – розташований комплекс) і межі по направленій безлічі (амер. математиками Е . Г. Муром і Г. Л. Смітом ці ж поняття були розглянуті незалежно від Шатуновського, але значно пізніше – в 1922). Загальне поняття частково впорядкованої безлічі належить Ф. Хаусдорфу (1914).
Літ.: Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. – Л., 1948; Курош А. Р., Лекції із загальної алгебри, 2 видавництва, М., 1973; Хаусдорф Ф., Теорія безлічі, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. – Л., 1937; Куратовський До., Мостовськиq А., Теорія безлічі, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1970; Бурбак Н., Теорія безлічі, пер.(переведення) з франц.(французький), М., 1965.
