Континуум (від латів.(латинський) continuum — безперервне) в математиці, термін, що вживається для позначення утворень, що володіють відомими властивостями безперервності (повні формулювання див.(дивися) в 1 і 2), і для позначення певної потужності (див. Потужність безлічі ) , а саме, потужності безлічі дійсних чисел (див. 3).
1) Найбільш вивченою безперервною освітою в математиці є система дійсних чисел, або т.з. числовій К. Свойства безперервності системи дійсних чисел можуть бути охарактеризовані різними способами (за допомогою різних «аксіом безперервності»). Якщо основним поняттям вважати поняття нерівності ( а < b ), то безперервність числового До. можна, наприклад, охарактеризувати наступними двома положеннями: а) між будь-якими двома числами а < b лежить принаймні ще одне число з (для якого а < з < b ) ; би) якщо всі числа розбиті на два класи А і В так, що кожне число а класу А менше будь-якого числа b класу В, те або в класі А є найбільше число, або в класі В є найменше число (аксіома безперервності Дедекинда).
2) У топології, що є не чим іншим як геометрією безперервності, властивості безперервності простору або будь-якої безлічі формулюються за допомогою поняття граничної точки . Основне поняття зв'язності безлічі, лежачої в топологічному просторі (або всього простору), визначається так: безліч М-коду називається зв'язною, якщо при будь-якому розбитті його на два непорожніх, що не перетинаються, підмножини A і В знайдеться хоч би одна крапка, що належить одному з них і гранична для іншого. До. у топології називають будь-який зв'язний компакт-диск (див. Компактність ) . Серед безлічі, лежачої на прямій або в n -мерном евклідовом просторі, компакт-дисками є замкнута обмежена безліч. Т. о., в евклідових просторах До. можна визначити як зв'язна замкнута обмежена безліч. Єдиними До. у цьому сенсі, лежачими на числовій прямій, є відрізки (тобто безліч чисел, що задовольняють нерівностям а £ х £ b ) . По строгому сенсу цього прийнятого в топології визначення безліч всіх дійсних чисел немає До.
3) Потужність безлічі дійсних чисел називається потужністю До. і позначають готичною буквою з або древнєєвропейськой буквою À («алеф») (на відміну від інших потужностей — без індексу). Кожен топологічний До. має ту ж потужність с. Відоме, що потужність з більше потужності À 0 рахункової безлічі. У рішенні питання, чи є потужність До. найближчою наступною за À 0 потужністю, полягає т.з. континууму проблема .
