Компактність (математичне), важлива властивість безлічі; безліч називається компактною, якщо кожна безконечна послідовність його елементів (крапок) має хоч би одну граничну точку . От До. по відношенню до охоплюючого простору відрізняють До. у собі: безліч (лежаче в певному топологічному просторі або таке, що є само топологічним простором) компактна у собі, якщо кожна безконечна послідовність його елементів має хоч би одну граничну крапку, що належить тій же безлічі.
В математичному аналізі велике значення має принцип Вейерштраса, що стверджує, що кожна обмежена безліч дійсних чисел — компактно. Компактна безліч функцій грає фундаментальну роль в теорії функцій і функціональному аналізі. Для того, щоб безліч Е безперервних (наприклад, на сегменті [0,1] числової прямої) функцій було компактне (у просторі Зі всіх безперервних на [0,1] функцій), необхідне і досить, щоб функції безлічі Е були обмежені в своїй сукупності (однією і тією ж постійною) і рівностепеневий безперервні (див. Рівностепенева безперервність ) .
Компактне метричний простір називається компакт-диском. Серед безлічі, лежачої в евклідових просторах E n довільного числа вимірів, компактні в E n вся обмежена безліч і лише вони; компакт-дисками (тобто компактною в собі безліччю) серед них буде лише замкнута (і обмежені) безліч. У Гільбертовому просторі обмеженість недостатня для компактності: сфера в Гільбертовому просторі некомпактна, хоча утворює замкнуту і обмежену безліч. Компакт-диском є так званий фундаментальний паралелепіпед гильбертова простору, тобто безліч всіх точок цього простору, координати яких задовольняють умовам 0£ x n £ 1 / 2 n . Всі компакт-диски (і серед всіх топологічних просторів лише компакт-диски) гомеоморфни (див. Гомеоморфізм ) замкнутій безлічі фундаментального паралелепіпеда гильбертова простору (теорема Урисона). Компакт-диски кінцевою розмірність і лише вони гомеоморфни замкнутій обмеженій безлічі евклідових просторів.
Для метричних просторів, а також для топологічних просторів з рахунковою базою властивість До. (у собі) еквівалентно властивості бікомпактності.
Літ.: Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. —Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теорія безлічі, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1937.
