Рівностепенева безперервність, важлива властивість деяких сімейств функцій. Сімейство функцій називається рівностепеневий безперервним на даному відрізку [ а , b ], якщо для всякого числа e > 0 знайдеться таке d > 0, що ï f ( x 2 ) — f ( x 1 )ï < e для будь-яких x 1 і x 2 з [ а , b ] для яких ï x 2 — x 1 ï < d, і для будь-якої функції f ( x ) даного сімейства. Всі функції рівностепеневий безперервного сімейства рівномірно безперервні на [ а , b ] (див. Рівномірна безперервність ).
Властивість Р. н. сімейства функцій знаходить додатки в теорії диференціальних рівнянь і функціональному аналізі завдяки наступній теоремі: для того, щоб з даного сімейства функцій можна було виділити послідовність (див. Рівномірна збіжність ), що рівномірно сходиться, необхідно і досить, щоб сімейство функцій було рівностепеневий безперервно і рівномірно обмежено (тобто щоб всі функції сімейства задовольняли на [ а , b ] умові ï f ( x )ï £ M з одним і тим же М-кодом ). Можливість виділити послідовність, що рівномірно сходиться, означає, що дане сімейство утворює відносно компактну безліч в просторі З безперервних функцій (див. Компактність ).
