Конструктивна математика, абстрактна наука про конструктивні процеси, людську здатність здійснювати їх і про їх результати — конструктивні об'єкти. Абстрактність До. м. виявляється перш за все в тому, що в ній систематично застосовуються дві абстракції: абстракція потенційної здійсненності і абстракція ототожнення. Абстракцію потенційної здійсненності використовують, коли відволікаються від практичних обмежень конструктивних можливостей в просторі, часі і матеріалі. Абстракцію ототожнення використовують, коли говорять про два в тому або іншому сенсі однакових об'єктах як про один і той же об'єкт. У ДО. м. не застосовується характерна для теоретико-множинної математики абстракція актуальної нескінченності, пов'язана з розглядом ніколи не завешуваних процесів як нескінченно продовжених і тим самим як би завершених.
Конструктивний процес, результатом якого є об'єкт, однаковий з А, називається побудовою об'єкту А . Вислови, пов'язані з людською здатністю здійснювати конструктивні процеси, часто формулюються в До. м. у вигляді теорем існування, що стверджують, що існує об'єкт, що задовольняє якимсь вимогам. Під цим мають на увазі, що побудова такого об'єкту потенційна здійсненно, тобто що володіють способом його побудови. Це розуміння теорем існування відрізняється від їх розуміння в теоретико-множинній математиці, що вимушує будувати для До. м. свою логіку, відмінну від обслуговуючої теоретико-множинну математику класичної математичної логіки, — конструктивну математичну логіку.
Поняття конструктивного процесу і конструктивного об'єкту не визначаються в До. м. У таких загальних визначеннях і немає потреби, оскільки в До. м. зазвичай мають справу не з конструктивними процесами і конструктивними об'єктами взагалі, а з певними видами тих і інших.
Простим виглядом конструктивних об'єктів є слова у фіксованому алфавіті, тобто ряди букв цього алфавіту (слово «буква» розуміється тут як «елементарний знак», тобто як «знак, частямі якого ми не цікавимося»; алфавіт — це набір букв). Конструктивний процес, результатом якого є слово, полягає в даному випадку у виписуванні цього слова буква за буквою. Окремим випадком слів є натуральні числа, які ми розглядаємо як слова в алфавіті 01, що починаються з нуля і, крім того, нуля що не містять, тобто як слова 0, 01, 011, 0111... Додаючи до цього алфавіту знак мінус «—» і знак дробу «/», дістають можливість будувати раціональні числа як деякі слова в алфавіті 01 — /. Т. о., раціональні числа виявляються конструктивними об'єктами.
Природно, виникло питання про побудову дійсних чисел в рамках До. м. і, далі, питання про включення математичного аналізу в ці рамки. Ці цілі досягнуті на основі уточненого поняття алгоритму . Яким з відомих уточнень цього поняття (Т'юринга машина, рекурсивні функції, нормальні алгоріфми) тут користуватися, при цьому неістотно. Надалі під «алгорифмом» буде розумітися нормальний алгорифм .
Конструктивною послідовністю раціональних (натуральних) чисел називатиметься алгорифм, що переробляє всяке натуральне число в раціональне (натуральне) число. Без істотного обмеження спільності можна вважати конструктивну послідовність раціональних чисел алгорифмом в алфавіті 01 — /ab. Запис такого алгорифма здійснюватиметься як слово в алфавіті 01. Про конструктивну послідовність раціональних чисел говорять, що вона регулярно сходиться, якщо для всякого натурального числа n дотримується умова
|( n ) - ( n +1)|£ 2 - n -1 .
Записи послідовностей раціональних чисел, що регулярно сходяться, називають конструктивними дійсними числами (КДЧ). Природним чином визначаються рівність два КДЧ, порядкові стосунки між ними, а також арифметичними дії над ними і операція узяття абсолютної величини. Арифметичні операції виявляються алгоріфмічеськимі: є, наприклад, алгорифм, що переробляє всяку пару КДЧ в суму цих КДЧ. З іншого боку, неможливий алгорифм, КДЧ, що розпізнає, серед слів в алфавіті 01; неможливий алгорифм, що розпізнає рівність КДЧ.
Далі, на основі алгоритмів теорії можна визначити поняття конструктивної послідовності КДЧ. Для всякої такій послідовності виявляється можливим побудувати КДЧ, не рівне жодному членові цієї послідовності. Це — конструктивний аналог теореми Кантора про численність континууму.
Можуть бути визначені поняття конструктивної збіжності конструктивної послідовності КДЧ в собі і до КДЧ. Має місце теорема повноти, що стверджує, що всяка конструктивна послідовність КДЧ, що конструктивно сходиться в собі, конструктивно сходиться до деякого КДЧ. Проте конструктивний аналог відомої теореми про збіжність обмеженої зростаючої послідовності спростовується на прикладі.
Згідно з визначенням, КДЧ — слова в алфавіті 01. Алгоріфми над цим алфавітом можна застосовувати до КДЧ, що відкриває можливість будувати функцію від дійсного змінного як алгорифм, переробляючий КДЧ в КДЧ. Треба лише, щоб такий алгорифм був погоджений з рівністю — рівні КДЧ він повинен переробляти в рівні КДЧ. Т. о., виходить наступне визначення — алгорифм F над алфавітом 01 є конструктивна функція дійсного змінного, якщо дотримуються наступні умови: 1) F переробляє всяке КДЧ, до якого він застосовний, в КДЧ; 2) всякий раз, коли F застосовний до яких-небудь КДЧ х, він застосовний і до всякого КДЧ в, рівному х, і КДЧ F ( x ) і F ( в ) рівні.
На основі цього визначення була розроблена конструктивна теорія функцій дійсного змінного. Одним з найцікавіших її результатів є теорема про безперервність конструктивних функцій: всяка конструктивна функція дійсного змінного безперервна усюди, де вона визначена. В той же час з'ясовано, що в теорії конструктивних функцій не мають місця аналоги класичних теорем Вейерштраса і Кантора про безперервні функції на сегменті. Зокрема, були побудовані: 1) необмежена конструктивна (і тому безперервна) функція на сегменті [0,1]; 2) обмежена на цьому сегменті конструктивна функція, що не має точного верхнього кордону; 3) конструктивна функція, що має на сегменті [0,1] точний верхній кордон, але не що досягає її; 4) обмежена на сегменті [0,1] конструктивна функція, що немає рівномірно безперервною ні на якому сегменті, що міститься в сегменті [0,1]. Ці результати виявляють глибоку відмінність конструктивного математичного аналізу від аналізу теоретико-множинного.
В даний час (70-і рр. 20 ст) успішно розробляються багато відділів До. м.: конструктивні теорії диференціювання і інтеграції, конструктивна теорія метричних просторів, конструктивний функціональний аналіз, конструктивна теорія функцій комплексного змінного і ін.
Літ.: Марков А. А., Теорія алгоріфмов, «Тр. Математичного інституту АН(Академія наук) СРСР», 1954, т. 42; Проблеми конструктивного напряму в математиці, ст 1—5, там же, 1958, т. 52; 1962, т. 67; 1964, т. 72; 1967, т. 93; 1970, т. 113; Фан Дінь Зієу, Деякі питання конструктивного функціонального аналізу там же, 1970, т. 114.
