Аксіоматичний метод, спосіб побудови наукової теорії, при якій в її основу кладуться деякі вихідні положення (думки), — аксіоми, або постулати, з яких всі останні затвердження цієї науки (теореми ) повинні виводитися чисто логічним дорогою, за допомогою доказів . Призначення А. м. полягає в обмеженні свавілля при прийнятті наукових думок як істини даної теорії. Побудова науки на основі А. м. зазвичай називається дедуктивним. Всі поняття дедуктивної теорії (окрім фіксованого числа первинних) вводяться за допомогою визначень, що виражають (або що роз'яснюють) їх через раніше введені поняття. В тій чи іншій мірі дедуктивні докази, характерні для А. м., застосовуються в багатьох науках. Але, не дивлячись на спроби систематичного вживання А. м. до викладу філософії (Б. Спіноза), соціології (Дж. Віко), політичній економії (До. Родбертус-Ягецов), біології (Дж. Вуджер) і ін. наук, головною областю його застосування до цих пір залишаються математика і символічна логіка, а також деякі розділи фізики (механіка термодинаміка, електродинаміка і ін.).
А. м-код прошел в своєму історичному розвитку 3 стадії. Перша пов'язана з побудовою геометрії в Древній Греції. Основне вигадування цього періоду — «Почала» Евкліда (хоча, мабуть, і до нього Піфагор, якому приписується відкриття А. м., а потім Платон і його учні немало зробили для розвитку геометрії на основі А. м.). У той час вважалося, що як аксіоми повинні вибиратися думки, істинність яких «самоочевідна», так що істинність теорем вважалася гарантованою бездоганністю самої логіки. Але Евкліду не удалося обмежитися чисто логічними засобами при побудові геометрії на основі аксіом. Він охоче удавався до інтуїції в питаннях, що стосуються безперервності, взаємного розташування і рівність геометричних об'єктів. Втім, за часів Евкліда такі звернення до інтуїції могли і не сприйматися як вихід за межі логіки — перш за все тому, що сама логіка не була ще аксіоматизована (хоча часткова формалізація логіки, здійснена Арістотелем і його послідовниками, і була деяким наближенням до аксіоматизації). Не було і достатньої виразності у введенні первинних понять і при визначенні нових понять.
Початок другої стадії в історії А. м. пов'язують зазвичай з відкриттям Н. І. Лобачевським, Я. Больяй і К. Ф. Гаусом можливості побудувати несуперечливим чином геометрію, виходячи з систем аксіом, відмінною від евклідової. Це відкриття зруйнувало переконання в абсолютній («очевидною» або «апріорною») істинності аксіом і заснованих на них наукових теорій. Тепер аксіоми стали розумітися просто як вихідні положення даної теорії, питання ж про їх істинність в тому або іншому сенсі (і вибір як аксіоми) виходить за рамки аксіоматичної теорії як такий і відноситься до її взаємовідношення з фактами, лежачими поза нею. З'явилося багато (і притому різних) геометричних, арифметичних і алгебри теорій, які будувалися засобами А. м. (роботи Р. Дедекинда, Р. Грасмана і ін.). Ця стадія розвитку А. м. завершилася створенням аксіоматичних систем арифметики (Дж. Пеано, 1891), геометрія (Д. Гільберт, 1899), числення висловів і предикатів (А. Н. Уайтхед і Б. Рассел, Англія, 1910) і аксіоматичній теорії безлічі (Е. Цермело, 1908).
Гильбертовськая аксіоматизація геометрії дозволила Ф. Клейну і А. Пумнкаре довести несуперечність геометрії Лобачевського відносно евклідової геометрія за допомогою вказівки інтерпретації понять і пропозицій нєєвклідової геометрії в термінах геометрії Евкліда, або, як то кажуть, побудови моделі першою засобами другої. Метод моделей (інтерпретацій) став з тих пір найважливішим методом встановлення відносної несуперечності аксіоматичних теорій. В той же час зі всією виразністю виявилося, що, окрім «природної» інтерпретації (тобто тій, ради уточнення і розвитку якої дана теорія будувалася), в аксіоматичної теорії можуть бути і ін. інтерпретації, причому її можна з рівною підставою вважати такою, що «говорить» про кожну з них.
Послідовний розвиток цієї ідеї і прагнення точний описати логічні засоби виведення теорем з аксіом привели Гільберта до концепції формального А. м., характерною для третьої, сучасної його стадії. Основна ідея Гільберта — повна формалізація мови науки, при якій її думки розглядаються просто як послідовності знаків (формули), що не мають як такі жодного сенсу (якого вони набувають лише при деякій конкретній інтерпретації). Це відноситься і до аксіом — як загальнологічним, так і специфічним для даної теорії. Для виведення теорем з аксіом (і взагалі одних формул з інших) формулюються спеціальні правила виводу (наприклад, т.з. правило modus ponens — «правило закреслення», що дозволяє отримати В з А і «А вабить В»). Доказ в такій теорії (численні, або формальній системі ) — це просто послідовність формул, кожна з яких або є аксіома, або виходить з попередніх формул послідовності по якому-небудь правилу виведення . На відміну від таких формальних доказів, властивості найформальнішої системи в цілому обговорюються — а інколи їх удається і довести — змістовними засобами т.з. метатеорії, тобто теорії, що розглядає дану («наочну») теорію як предмет вивчення. На мові метатеорії (метамови) формулюються і правила виведення наочної теорії. За задумом Гільберта, в рамках створеної їм теорії доказів, тобто допускаючи в метатеорії лише т.з. фінітні способи міркування (не використовуючі заслання ні на які об'єкти, що не мають кінцевої побудови), можна було б довести несуперечність і повноту всієї класичної математики (тобто довідність кожної формули, достеменної при деякій певній інтерпретації). Не дивлячись на ряд значних результатів в цьому напрямі, гильбертовськая програма в цілому (її зазвичай називають формалізмом) нездійснима, т. до., згідно з найважливішим результатом До. Геделя (1931), всяка досить багата несуперечлива формальна система неодмінно неповна (т.з. теорема про неповноту). Теорема Геделя свідчить про обмеженість А. м. (хоча певні розширення метатеоретічеських засобів, що допускаються, і дозволили німецькому математикові Р. Генцену, П. С. Новікову і ін. математикам отримати доказ несуперечності формалізованої арифметики).
А. м. схильний також критиці, витікаючій з різних семантичних (див. Логічна семантика ) критеріїв. Так, інтуїционісти (Л. Е. Я. Брауер, Р. Вейль і ін.) не визнають обгрунтованості в застосуванні до безконечної безлічі принципу виключеного третього (див. Виключеного третього принцип ) тим часом цей принцип не лише береться як логічна аксіома в більшості формальних теорій, але і використовується по суті (хоча і неявно) в основних передумовах гильбертовськой програми, згідно якої несуперечність теорії — достатня умова її «істинності». Як і інтуїционізм, конструктивний напрям в математиці (у СРСР — А. А. Марков і Н. А. Шанін) вважає призначенням математики вивчення не довільних моделей несуперечливих формальних систем, а лише совокупностей об'єктів, що допускають в певному значенні ефективну побудову.
Ще істотніші заперечення проти А. м. висуває ультраїнтуїционістськая критика, що ставить під сумнів єдиність натурального ряду чисел і, тим самим, однозначну визначеність поняття теореми формальної системи. Згідно з цією критикою, А. м. заснований на «принципі локальності для доказів», що передбачає, що якщо аксіоми достеменні і правила виводу зберігають істинність, то достеменними неодмінно мають бути і теореми. Т. о., інтуїтивне обгрунтування загальновживаного принципу математичної індукції, згідно ультраїнтуїционістськой критиці, містить неусувний порочний круг. Ультраїнтуїционізм, не обмежуючись критикою, пропонує і позитивну програму подолання вказаних труднощів.
Літ.: Початку Евкліда, пер.(переведення) з греч.(грецький), [т. 1 — 3], М. — Л., 1948 — 50; Кліні С. До., Введення в метаматематику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957 (бібл.); Новіков П. С., Елементи математичної логіки, М., 1959: Есенін-Вольпін А. С., Про аксіоматичний метод, «Питання філософії», 1959 № 7; Садовський Ст Н., Аксиоматіч. метод побудови науч.(науковий) знання, в кн.: Філос. питання совр.(сучасний) формальної логіки, М., 1962; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1 — 2, Ст, 1934 — 39.
