Теорема (греч. theorema, від theoréo — розглядаю, досліджую), пропозиція деякої дедуктивної теорії (див. Дедукція ) , встановлюване за допомогою докази . Кожна дедуктивна теорія (математика, багато її розділів, логіка, теоретична механіка, деякі розділи фізики) складається з Т. доводжуваних одна за одною на підставі раніше вже доведених Т.; найперші ж пропозиції беруться без доведення і є, таким чином, логічною основою даної області дедуктивної теорії; ці перші пропозиції називають аксіомами .
У формулюванні Т. розрізняють умову і висновок. Наприклад, 1) якщо сума цифр числа ділиться на 3, то і само число ділиться на 3, або 2) якщо в трикутнику один з кутів прямої, то обидва інших — гострі; у кожному з цих прикладів після слова «якщо» коштує умова Т., а після слова «то» — висновок. У такій формі можна висловити кожну Т. Наприклад, Т.: «всякий вписаний в коло кут, що спирається на діаметр, прямій», можна висловити так: «якщо вписаний в коло кут спирається на діаметр, то він прямій».
Для кожної Т., висловленою у формі «якщо... то...». можна висловити їй зворотну теорему, в якій умова є висновком, а висновок — умовою. Пряма і зворотна Т. взаємно зворотні. Не всяка зворотна Т. виявляється вірною; так, для прикладу 1) зворотна Т. вірна, а для прикладу 2) — очевидно невірна. Справедливість обидві взаємно зворотних Т. означає, що виконання умови будь-який з них не лише досить, але і необхідно для справедливості висновку (див. Необхідні і достатні умови ) .
Якщо замінити умову і висновок Т. їх запереченнями, то вийде Т., звана протилежною даною (див. Протилежна теорема ) , вона рівносильна зворотною Т. Точно так само і Т., зворотна протилежною, рівносильна початковою Т. (прямій). Тому доказ прямий Т. можна замінити доказом того, що із заперечення висновку даною Т. витікає заперечення її умови. Цей метод, званий доказом від осоружного, або приведенням до абсурду, є одним з найбільш споживаних прийомів математичних доказів.
