Зворотна теорема , теорема, умовою якої служить висновок вихідної (прямій) теореми, а висновком — умова. Зворотною к О. т. буде вихідна (пряма) теорема. Таким чином, пряма і О. т. взаємно зворотні. Наприклад, теореми: «якщо два кути трикутника рівні, то їх бісектриси рівні» і «якщо дві бісектриси трикутника рівні, то відповідні ним кути рівні» — є зворотними один одному. Із справедливості якої-небудь теореми, взагалі кажучи, не слідує справедливість зворотної до неї теореми. Наприклад, теорема: «якщо число ділиться на 6, то воно ділиться на 3» — вірна, а О. т.: «якщо число ділиться на 3, то воно ділиться на 6» — невірна. Навіть якщо О. т. вірна, для її доказу можуть виявитися недостатніми засоби, використовувані при доведенні прямої теореми. Наприклад, в евклідової геометрії вірні як теорема «дві прямі на плоскість, що має загальний перпендикуляр, не перетинаються», так і зворотна до неї теорема «дві прямі, що не перетинаються, на плоскості мають загальний перпендикуляр». Проте друга (зворотна) теорема грунтується на евклідової аксіомі паралельних, тоді як для доказу першої ця аксіома не потрібна. У Лобачевського геометрії друга просто невірна, тоді як перша залишається в силі. О. т. рівносильна теоремі, протилежній до прямої, тобто теоремі, в якій умова і висновок прямої теореми замінені їх запереченнями. Тому пряма теорема рівносильна теоремі, протилежній до зворотної, тобто теоремі, що стверджує, що якщо невірний висновок прямої теореми, то невірно і її умова. Відомий спосіб «доказу від осоружного» якраз і є заміною доведення прямої теореми доведенням теореми, протилежної до зворотної. Справедливість обидві взаємно зворотних теорем означає, що виконання умови будь-який з них не лише досить, але і необхідно для справедливості висновку (див. Необхідні і достатні умови ).
