Зворотна функція , функція, що обертає залежність, що виражається даною функцією. Так, якщо в = f ( x ) — дана функція, то змінна х , що розглядається як функція змінної в , х = j ( в ), є зворотною по відношенню до даної функції в = f (x) . Наприклад, О. ф. для в = ах + b (а¹0) є х = (у—b)/a , О. ф. для в = е х є х = ln в і т.д. Якщо х = j( в ) є О. ф. по відношенню до в = f (x), те і в = f (x) є О. ф. по відношенню до х = j( в ). Областю визначення О. ф. є область значень даної функції, а областю значень О. ф.— область визначення даної. Графіки два взаємно зворотних функцій в = f (x) і в = j (x) (де незалежне змінне позначене однією і тією ж буквою х ), як, наприклад, в = ах + b і в = (х—b)/a, в = е х і в = ln х , симетричні по відношенню до бісектриси в = х першого і третього координатних кутів. Функція, зворотна по відношенню до однозначної функиі, може бути багатозначною (ср., наприклад, функції х 2 і ). Для однозначності О. ф. необхідно і досить, щоб дана функція в = f (x) набувала різних значень для різних значень аргументу. Для безперервної функції остання умова може виконуватися лише в тому випадку, якщо дана функція монотонна (маються на увазі функції дійсного аргументу, що набувають дійсних значень). О. ф. по відношенню до безперервної і монотонної функції однозначна, безперервна і монотонна.
Якщо дана функція кусочно монотонна, то, розбиваючи область її визначення на ділянки її монотонності, отримують однозначні гілки О. ф. Так, однією з ділянок монотонності для sin х служить інтервал — p/2< x < p/2; йому відповідає т.з. головна гілка arc sin х зворотної функції Arc sin х . Для пари однозначних взаємно зворотних функцій мають місце співвідношення j [f (x)]=x і f [ j (x)] = х , перше з яких справедливо для всіх значень х з області визначення функції f (x), а друге — для всіх значень х з області визначення функції j (x) ; наприклад, e ln x = х (х > 0), 1n (e x ) = х (— ¥ < х < ¥). Інколи функцію, зворотну до f (x) =у , позначають f - -1 (y) = х , так що для безперервної і монотонної функції f (x):
F -1 [f (x)]=f [f -1) x)]=x.
Взагалі ж f --1 [f (x)] є багатозначною функцією від х , одним із значень якої є х ; так, для f (x) = x 2 , х (¹ 0) є лише одним з двох значень f --1 [f (x)] = √x 2 (інше: -х); для f (x) = sin х , х є лише одним з безконечної безлічі значень
f - -1 [f (x)] = Arc sin [sin x ] = (—1) n x + np ,
n = 0 ± 1 ± 2....
Якщо в = f (x) безперервна і монотонна в околиці точки х = x 0 і діфференцируєма при х = x 0 , причому f''(x 0 ) ¹ 0, то f --1 (y) діфференцируєма при в = у 0 і
(формула диференціювання О. ф.). Так, для —p/2 < х < p/2, в = f (x) = sin х безперервна і монотонна, f’(x)= cos х ¹ 0 і f - -1 (y)= arc sin в (—1< в <1) діфференцируєма, причому
де мається на увазі позитивне значення кореня (оскільки cos х > 0 для —p/2 < х < p/2).
