Лобачевського геометрія
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Лобачевського геометрія

Лобачевського геометрія , геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних, яка замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклід аксіома про паралельних свідчить: через крапку, не лежачу на даній прямій, проходіт лише одна пряма, лежача з даною прямою в одній плоскості і що не пересікає її. У Л. р. замість неї приймається наступна аксіома: через крапку, не лежачу на даній прямій, проходят принаймні дві прямі, лежачі з даною прямою в одній плоскості і що не пересікають її. Здавалося б, ця аксіома протіворечит надзвичайно звичним виставам. Проте як ця аксіома, так і вся Л. р. має сповна реальний сенс (про що див.(дивися) нижчий). Л. р. була створена і розвинена Н. І. Лобачевським, який вперше повідомив про неї в 1826. Л. р. називається нєєвклідової геометрією, хоча зазвичай терміну «неевклідового геометрія» додають ширший сенс, включаючи сюди і ін. теорії, що виникли услід за Л. р. і також засновані на зміні основних посилок евклідової геометрії. Л. р. називається спеціально гіперболічною нєєвклідової геометрією (в протилежність еліптичній геометрії Рімана) (див. Неевклідова геометрія, Рімана геометрія ) .

  Л. р. представляє теорію, багату вмістом і що має вживання як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової, що знаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики взагалі (див. Геометрія ) . З сучасної точки зору можна дати, наприклад, наступне визначення Л. р. на плоскості: вона є не що інше, як геометрія усередині круга на звичайній (евклідової) плоскості, лише виражена особливим чином. Саме, розглядатимемо круг на звичайній плоскості ( мал. 1 ) і внутрішність його, тобто круг, за винятком кола, що обмежує його, назвемо «плоскістю». Точкою «плоскості» буде крапка усередині круга. «Прямій» називатимемо будь-яку хорду (наприклад, а, b, b'' , MN) (з виключеними кінцями, оскільки коло круга виключене з «плоскості»). «Рухом» назвемо будь-яке перетворення круга самого в себе, яке переводить хорди в хорди. Відповідно, рівними називаються фігури усередині круга, що переводяться одна в іншу такими перетвореннями. Тоді виявляється, що будь-який геометричний факт, описаний на такому мові, представляє теорему або аксіому Л. р. Іншими словами, всяке затвердження Л. р. на плоскості є не що інше, як затвердження евклідової геометрії, що відноситься до фігур усередині круга, лише переказане у вказаних термінах. Евклід аксіома про паралельних тут явно не виконується, оскільки через крапку Про, не лежачу на даній хорді а (тобто «прямій»), проходіт хорд, що скільки завгодно не пересікають її («прямих») (наприклад, b, b'' ). Аналогічно, Л. р. в просторі може бути визначена як геометрія усередині кулі, виражена у відповідних термінах («прямі» — хорди, «плоскість» — плоскі перетини внутрішності кулі, «рівні» фігури — ті, які переводяться одна в іншу перетвореннями, що переводять кулю саму в себе і хорди в хорди). Таким чином, Л. р. має абсолютно реальний сенс і настільки ж несуперечлива, як геометрія Евкліда. Опис одних і тих же фактів в різних термінах або, навпаки, опис різних фактів у одних і тих же термінах представляє характерну межу математики. Вона ясно виступає, наприклад, коли одна і та ж лінія задається в різних координатах різними рівняннями або, навпаки, одне і те ж рівняння в різних координатах представляє різні лінії.

  Виникнення геометрії Лобачевського. Джерелом Л. р. послужив питання про аксіому про паралельних, яка відома також як V постулат Евкліда (під цим номером твердження, еквівалентне приведеній вище аксіомі про паралельних, фігурує в списку постулатів в «Початках» Евкліда ). Цей постулат, зважаючи на його складність порівняно з іншими, викликав спроби дати його доказ на підставі останніх постулатів.

  Ось неповний перелік учених, що займалися доказом V постулату до 19 в.: старогрецький математики Птолемей (2 ст), Прокл (5 ст) (доказ Прокла заснований на припущенні про кінцівку відстані між двома паралельними), Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець 10 — почало 11 вв.(століття)) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує пряму лінію), таджицький математик Омар Хайям (2-я половина 11 — почало 12 вв.(століття)), азербайджанський математик Насиреддін Туєй (13 ст) (Хайям і Насиреддін при доказі V постулату виходили з припущення, що дві прямі, що сходяться, не можуть при продовженні стати такими, що розходяться без пересічення), німецький математик К. Клавій (Шлюссель, 1574), італійські математики П. Катальді (вперше в 1603 що надрукував роботу, цілком присвячену питанню про паралельних), Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680), англійський математик Дж. Валліс (1663, опубліковано в 1693) (Валліс засновує доказ V постулату на припущенні, що для всякої фігури існує їй подібна, але не рівна фігура). Докази перерахованих вище геометрів зводилися до заміни V постулату ін. припущенням, що здавалося очевиднішим. Італійський математик Дж. Саккері (1733) зробив спробу довести V постулат від осоружного. Прийнявши пропозицію, що перечить постулату Евкліда, Саккері розвинув з нього досить обширні следствія. Помилково визнавши деякі з цих следствій такими, що приводять до протиріч Саккері уклав, що постулат Евкліда доведений. Німецький математик І. Ламберт (близько 1766, опубліковано в 1786) зробив аналогічні дослідження, проте він не повторив помилки Саккері, а визнав своє безсилля виявити в побудованій їм системі логічне протиріччя. Спроби доказу постулату робилися і в 19 ст Тут слід зазначити роботи французького математика А. Лежандра; один з його доказів (1800) заснований на допущенні, що через кожну крапку усередині гострого кута можна провести пряму, що пересікає обидві сторони кута, т. е., як і всі його попередники, він замінив постулат ін. допущенням. Досить близько до побудови Л. р. підійшли німецькі математики Ф. Швейкарт (1818) і Ф. Таурінус (1825), проте ясно вираженій думці про те, що намічана ними теорія буде логічно настільки ж досконала, як і геометрія Евкліда, вони не мали.

  Питання про V постулат Евкліда, що займав геометрів більше двох тисячоліть, був вирішений Лобачевським. Це рішення зводиться до того, що постулат не може бути доведений на основі ін. посилок евклідової геометрії і що допущення постулату, протилежного до постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію настільки ж змістовну, як і евклідова, і вільну від протиріч. Лобачевський зробив про це повідомлення в 1826, а в 1829—30 надрукував роботу «Про початки геометрії» з викладом своїй теорії. У 1832 була опублікована робота угорського математика Я. Больяй аналогічного вмісту. Як з'ясувалося згодом, німецький математик До. Ф. Гаус також прийшов до думки про можливість існування несуперечливої нєєвклідової геометрії, але приховував її, опасаючись бути таким, що не зрозумів. Хоча Л. р. розвивалася як умоглядна теорія і сам Лобачевський називав її «уявною геометрією», проте саме Лобачевський розглядав її не як гру розуму, а як можливу теорію просторових стосунків. Проте доказ її несуперечності був даний пізніше, коли були вказані її інтерпретації і тим повністю вирішено питання про її реальний сенс, логічну несуперечність.

  Інтерпретації (моделі) геометрії Лобачевського. Л. р. вивчає властивості «плоскості Лобачевського» (у планіметрії) і «простори Лобачевського» (у стереометрії). Плоскість Лобачевського — це плоскість (безліч крапок), в якій визначені прямі лінії, а також рухи фігур (в той же час — відстані, кути і ін.), що підкоряються всім аксіомам евклідової геометрії, за винятком аксіоми про паралельних, яка замінюється вказаною вище аксіомою Лобачевського. Схожим чином визначається простір Лобачевського. Завдання з'ясування реального сенсу Л. р. полягала в знаходженні моделей плоскості і простору Лобачевського, тобто в знаходженні таких об'єктів, в яких реалізувалися б положення планіметрії і стереометрії Л, що відповідним чином тлумачили. р. (про інтерпретацію взагалі див.(дивися) Геометрія, розділ Тлумачення геометрії). Італійський математик Е. Бельтрамі в 1868 відмітив, що геометрія на шматку плоскості Лобачевського збігається з геометрією на поверхнях постійної негативної кривизни, простий приклад яких представляє псевдосфера ( мал. 2 ). Якщо крапкам і прямим на кінцевому шматку плоскості Лобачевського зіставляти крапки і найкоротші лінії (геодезичні) на псевдосфері і руху в плоскості Лобачевського зіставляти переміщення фігури по псевдосфері з вигинанням тобто деформацією, що зберігає довжини, то всякій теоремі Л. р. відповідатиме факт, що має місце на псевдосфері. Т. о., Л. р. отримує простий реальний сенс. При цьому довжини, кути, площі розуміються в сенсі природного виміру їх на псевдосфері. Проте тут дається інтерпретація лише геометрії на шматку плоскості Лобачевського, а не на всій плоскості і тим більше не в просторі (у 1901 Д. Гільберт довів навіть, що взагалі в евклідовом просторі не може існувати регулярної поверхні, геометрія на якій збігається з геометрією всієї плоскості Лобачевського).

  В 1871 Ф. Клейн вказав ту модель як всієї плоскості, так і простору Лобачевського, яка була описана вищим і в якою плоскістю служить внутрішність круга, а простором — внутрішність кулі. Між іншим, в цій моделі відстань між крапкам ( мал. 1 ) визначається як ; кут — ще складніше.

  Пізніше А. Пумнкаре у зв'язку із завданнями теорії функцій комплексного змінного дав іншу модель. За плоскість Лобачевського береться внутрішність круга ( мал. 3 ), прямими вважаються дуги кіл, перпендикулярних колу даного круга, і його діаметри, рухами — перетворення, що отримуються комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими. Модель Пумнкаре чудова тим, що в ній кути зображаються звичайними кутами. Виходячи з таких міркувань, можна будувати модель Л. р. в просторі.

  Коротко моделі Клейна і Пумнкаре можна визначити так. У обох випадках плоскістю Лобачевського може служити внутрішність круга (простором — внутрішність кулі), і Л. р. є вчення про ті властивості фігур усередині круга (кулі), які в разі моделі Клейна не змінюються при проектних, а в разі моделі Пумнкаре — при конформних перетвореннях круга (кулі) самого в себе (проектні перетворення є ті, які переводять прямі в прямі, конформні, — ті, які зберігають кути).

  Можливо чисто аналітичне визначення моделі Л. р. Наприклад, точки плоскості можна визначати як пари чисел х, в , прямі можна задавати рівняннями, рухи — формулами, що зіставляють крапкам ( х, в ) нові крапки ( х'', в’ ). Це буде абстрактно певна аналітична геометрія на плоскості Лобачевського, аналогічно аналітичній геометрії на плоскості Евкліда. Т. до. Лобачевський дав основи своєї аналітичної геометрії, то тим самим він вже фактично намітив таку модель, хоча повна її побудова з'ясувалася вже після того, як на основі робіт Клейна і інших виявилося само поняття про модель. Інше аналітичне визначення Л. р. полягає в тому, що Л. р. визначається як геометрія ріманова простору постійної негативної кривизни (див. Ріманови геометрії ) . Це визначення було фактично дане ще в 1854 Би. Ріманом і включало модель Л. р. як геометрія на поверхнях постійної кривизни. Проте Ріман не зв'язав прямо своїх побудов с Л. р., а його доповідь, в якій він про них повідомив, не зрозуміла і був опублікований лише після його смерті (у 1868).

  Вміст геометрії Лобачевського. Лобачевський будував свою геометрію, вирушаючи від основних геометричних понять і своєї аксіоми, і доводив теореми геометричним методом, подібно до того, як це робиться в геометрії Евкліда. Основою служила теорія паралельних ліній, оскільки саме тут починається відмінність Л. р. від геометрії Евкліда. Всі теореми, не залежні від аксіоми про паралельних, общи обом геометрії і утворюють т.з. абсолютну геометрію, до якої відносяться, наприклад, теореми про рівність трикутників. Услід за теорією паралельних будувалися ін. відділи, включаючи тригонометрію і початки аналітичної і диференціальній геометрії. Приведемо декілька фактів Л. р., що відрізняють її від геометрії Евкліда і встановлених самим Лобачевським.

  1) У Л. р. не існує подібних, але нерівних трикутників; трикутники рівні, якщо їх кути рівні. Тому існує абсолютна одиниця довжини, тобто відрізок, виділений по своїх властивостях, подібно до того як прямий кут виділений своїми властивостями. Таким відрізком може служити, наприклад, сторона правильного трикутника з даною сумою кутів.

  2) Сума кутів всякого трикутника менше p і може бути скільки завгодно близькою до нуля. Це безпосередньо видно на моделі Пумнкаре. Різниця p — (а + b + g), де а, b, g — кути трикутника, пропорційна його площі.

  3) Через крапку Про, не лежачу на даній прямій а , проходіт нескінченно багато прямих, не пересікаючих а і що знаходяться з нею в одній плоскості; серед них є дві крайні b, b'' , які і називаються паралельними прямою а в сенсі Лобачевського. У моделях Клейна (Пумнкаре) вони зображаються хордами (дугами кіл), що мають з хордою (дугою) а загальний кінець (який за визначенням моделі виключається, так що ці прямі не мають загальних крапок) (мал. 1,3). Кут її між прямою b (або b'' ) і перпендикуляром з Про на а — т.з. кут паралельності — у міру видалення крапки Про від прямої убуває від 90° до 0° (у моделі Пумнкаре кути в звичайному сенсі збігаються з кутами в сенсі Лобачевського, і тому на ній цей факт можна бачити безпосередньо). Паралель b з одного боку (а b'' з протилежною) асимптотика наближається до а, а з іншої — нескінченно від неї віддаляється (у моделях відстані визначаються складно, і тому цей факт безпосередньо не видно).

  4) Якщо прямі мають загальний перпендикуляр, то вони нескінченно розходяться в обидві сторони від нього. До будь-якої з них можна відновити перпендикуляри, які не досягають іншої прямої.

  5) Лінія рівних відстаней від прямої не є пряма, а особлива крива, звана еквідістантой, або гіперциклом.

  6) Межа кіл радіусу, що нескінченно збільшується, не є пряма, а особлива крива, звана граничним колом, або орициклом.

  7) Межа сфер радіусу, що нескінченно збільшується, не є плоскість, а особлива поверхня — гранична сфера, або орісфера; чудово, що на ній має місце евклідова геометрія. Це служило Лобачевському основою для виведення формул тригонометрії.

  8) Довжина кола не пропорційна радіусу, а зростає швидше.

  9) Чим менше область в просторі або на плоскості Лобачевського, тим менше геометричні співвідношення в цій області відрізняються від співвідношень евклідової геометрії. Можна сказати, що в нескінченно малої області має місце евклідова геометрія. Наприклад, чим менше трикутник, тим менше сума його кутів відрізняється від p; чим менше коло, тим менше відношення її довжини до радіусу відрізняється від 2p, і тому подібне Зменшення області формальне рівносильно збільшенню одиниці довжини, тому при безмежному збільшенні одиниці довжини формули Л. р. переходять у формули евклідової геометрії. Евклід геометрія є в цьому сенсі «граничний» випадок Л. р.

  Л. р. продовжує розроблятися багатьма геометрами; у ній вивчаються: вирішення завдань на побудову, многогранники, правильні системи фігур, загальна теорія кривих і поверхонь і тому подібне Ряд геометрів розвивали також механіку в просторі Лобачевського. Ці дослідження не знайшли безпосередніх вживань в механіці, але дали почало плідним геометричним ідеям. У цілому Л. р. є обширною областю дослідження, подібно до геометрії Евкліда.

  Додатки геометрії Лобачевського. Сам Лобачевський застосував свою геометрію до обчислення певних інтегралів. У теорії функцій комплексного змінного Л. р. допомогла побудувати теорію автоморфних функцій . Зв'язок с Л. р. була тут відправним пунктом досліджень Пумнкаре, який писав, що «неевклідового геометрія є ключ до рішення всієї задачі». Л. р. знаходить вживання також в теорії чисел, в її геометричних методах, об'єднаних під назвою «геометрія чисел» (див. Чисел теорія ) . Була встановлена тісний зв'язок Л. р. з кінематикою спеціальної (приватною) теорії відносності (див. Відносності теорія ) . Цей зв'язок заснований на тому, що рівність, що виражає закон поширення світла

  x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2

  при діленні на t 2 , тобто для швидкості світла, дає

  v x 2 + v в 2 + v z 2 = c 2

  — рівняння сфери в просторі з координатами v x , v в , v z — складовими швидкості по осям х, в, z (у «просторі швидкостей»). Лоренца перетворення зберігають цю сферу і, оскільки вони лінійні переводять прямі простори швидкостей в прямі. Отже, згідно моделі Клейна, в просторі швидкостей усередині сфери радіусу з, тобто для швидкостей, менших швидкості світла, має місце Л. р.

  Чудовий додаток Л. р. знайшла в загальній теорії відносності (див. Тяжіння ) . Якщо рахувати розподіл мас матерії у Всесвіті рівномірним (це наближення в космічних масштабах допустимо), то виявляється, що за певних умов простір має Л. р. Т. о., припущення Лобачевського про його геометрію як можливій теорії реального простору виправдалося.

 

  Літ.: Лобачевський Н. І., Вигадування по геометрії, М. — Л., 1946—49 (Полн. собр. соч.(вигадування), т. 1—3); Про підстави геометрії. Збірка класичних робіт по геометрії Лобачевського і розвитку її ідей, М., 1956; Александров П. С., Що таке неевклідового геометрія, М., 1950; Делоне Б. Н., Елементарний доказ несуперечності планіметрії Лобачевського, М., 1956; Широков П. А., Короткий нарис основ геометрії Лобачевського, М., 1955; Каган Ст Ф., Лобачевський і його геометрія. Загальнодоступні нариси, М., 1955; його ж, Геометрія Лобачевського і її передісторія, М. — Л., 1949 (Підстави геометрії, ч. 1); Ефімов Н. Ст, Вища геометрія, 5 видавництво М., 1971; Погорелов А. Ст, Підстави геометрії, 3 видавництва, М., 1968; Розенфельд Би. А., Неевклідові простори, М., 1969; Нут Ю. Ю., Геометрія Лобачевського в аналітичному викладі, М., 1961; Андрієвськая М. Р., Аналітична геометрія в просторі Лобачевського, До., 1963.

  А. Д. Александров.

Мал. 3 до ст. Лобачевського геометрія.

Мал. 1 до ст. Лобачевського геометрія.

Мал. 2 до ст. Лобачевського геометрія.