Рімана геометрія, еліптична геометрія, одна з нєєвклідових геометрії, тобто геометрична теорія, заснована на аксіомах, вимоги яких (у значній частині) відмінні від вимог аксіом евклідової геометрія . Основними об'єктами, або елементами, тривимірним Р. р. є крапки, прямі і плоскість; основні поняття Р. р. суть поняття приналежності (точки прямої, точки плоскості), порядку (наприклад, порядку крапок на прямій або порядку прямих, що проходять через дану крапку в даній плоскості) і конгруентності (фігур). Вимоги аксіом Р. р., приладдя, що стосується, і порядку, повністю збігаються з вимогами аксіом проектній геометрії . Відповідно, в Р. р. мають місце наприклад, наступні пропозиції: через кожні дві крапки проходить одна пряма, кожна дві плоскість перетинаються по одній прямій, кожні дві прямі, лежачі в одній плоскості, перетинаються (у одній крапці), крапки на прямій розташовані в циклічному порядку (як і прямі, що лежачі в одній плоскості і проходять через одну крапку). Вимоги аксіом Р. р., що стосуються конгруентності, схожі з вимогами відповідних аксіом геометрії: в усякому разі вони забезпечують рухи фігур по плоскості і в просторі Рімана настільки ж вільні, як на плоскості і в просторі Евкліда. Метричні властивості плоскості Рімана «в малому» збігаються з метричними властивостями звичайної сфери. Точніше: для будь-якої точки плоскості Рімана існує та, що містить цю крапку частина плоскості, ізометрічная деякої частини сфери; радіус R цієї сфери — один і той же для всієї плоскості даного простору Рімана. Число До = 1/ R 2 називається кривизною простору Рімана (чим менше До, тим ближче за властивість фігур цього простору до евклідовим). Властивості плоскості Рімана «в цілому» відрізняються від властивостей цілої сфери; так, наприклад, на плоскості Рімана дві прямі перетинаються в одній крапці, а на сфері два великі круги, які грають роль прямих в сферичній геометрії, перетинаються в двох крапках; пряма, лежача на плоскість, не розділяє цю плоскість (т. е., якщо пряма а лежить в плоскості а, те будь-які дві точки плоскості a, не лежачі на прямій а, можливо з'єднати відрізком, не пересікаючи прямий а ).
Очевидно, перше повідомлення про Р. р. зроблене Б. Ріманом в його лекції «Про гіпотези, лежачі в підставі геометрії» (1854, опубліковано в 1867), де Р. р. розглядався як окремий випадок ріманової геометрія — теорії ріманових просторів в широкому сенсі. Р. р. відноситься до теорії просторів постійної позитивної кривизни.
