Евклід геометрія, геометрія, систематична побудова якої була вперше дана в 3 ст до н.е.(наша ера) Евклідом . Система аксіом Е. р. спирається на наступні основні поняття: крапка, пряма, плоскість, рух і наступні стосунки: «крапка лежить на прямій на плоскості», «крапка лежить між двома іншими». У сучасному викладі систему аксіом Е. р. розбивають на наступних п'ять груп.
I. Аксіоми поєднання. 1) Через кожні дві крапки можна провести пряму і притому лише одну. 2) На кожній прямій лежать принаймні дві крапки. Існують хоч би три крапки, не лежачі на одній прямій. 3) Через кожні три крапки, не лежачі на одній прямій, можна провести плоскість і притому лише одну. 4) На кожній плоскості є принаймні три крапки і існують хоч би чотири крапки, не лежачі в одній плоскості. 5) Якщо дві крапки даною прямою лежать на даній плоскості, то і сама пряма лежить на цій плоскості. 6) Якщо дві плоскість мають загальну крапку, то вони мають ще одну загальну крапку (і, отже, загальну пряму).
II. Аксіоми порядку. 1) Якщо точка В лежить між А і З , то все три лежать на одній прямій. 2) Для кожних точок А, В існує така точка З , що В лежить між А і З . 3) З трьох точок прямої лише одна лежить між двома іншими. 4) Якщо пряма пересікає одну сторону трикутника, то вона пересікає ще іншу його сторону або проходить через вершину (відрізок AB визначається як безліч крапок, лежачих між А і В ; відповідно визначаються сторони трикутника).
III. Аксіоми руху. 1) Рух ставить у відповідність точкам крапки, прямим прямі, плоскості плоскості, зберігаючи приналежність крапок прямим і плоскості. 2) Два послідовні рухи дають знову рух, і для всякого руху є зворотне. 3) Якщо дани точки А_, A'' і напівплощини A, A ‘, обмежені продовженими напівпрямими а, а'', які виходять з точок А, A'', те існує рух, і притому єдине, переводяче А, а, A в A'', a'', A '' (напівпряма і напівплощина легко визначаються на основі понять поєднання і порядку).
IV. Аксіоми безперервності. 1) Аксіома Архімеда: всякий відрізок можна перекрити будь-яким відрізком, відкладаючи його на першому достатнє число разів (відкладання відрізання здійснюється рухом). 2) Аксіома Кантора: якщо дана послідовність відрізань, вкладених один в іншій, то всі вони мають хоч би одну загальну крапку.
V. Аксіома паралельності Евкліда. Через точку А зовні прямий а в плоскості, проходящей через А і а , можна провести лише одну пряму, що не пересікає а.
Виникнення Е. р. тісно пов'язано з наочними уявленнями про навколишній нас світ (прямі лінії — натягнуті нитки, промені світла і т. п.). Тривалий процес поглиблення наших вистав привів до абстрактнішого розуміння геометрії. Відкриття Н. І. Лобачевським геометрії, відмінній від Е. р., показало, що наші уявлення про просторі не є апріорними. Іншими словами, Е. р. не може претендувати на роль єдиної геометрії, що описує властивості простору, що оточує нас. Розвиток природознавства (головним чином фізики і астрономії) показав, що Е. р. описує структуру простору, що оточує нас, лише з певною мірою точності і не придатна для опису властивостей простору, пов'язаних з переміщеннями тіл з швидкостями, близькими до світлової. Т. о., Е. р. може розглядатися як перше наближення для опису структури реального фізичного простору. Див. Простір, Геометрія, Лобачевського геометрія . Неевклідова геометрія .
