Автоморфна функція (від авто ... і грецького morphē — вигляд) (матем.), аналітична функція, значення якої не змінюються, якщо її аргумент піддається деяким дріб лінійним перетворенням. ДО А. ф. відносяться періодичні функції і, зокрема, еліптичні функції .
Так, наприклад, якщо вказані перетворення — цілі і мають вигляд: z’ = z + w , де w — комплексне число, відмінне від нуля, то виходять А. ф., що характеризуються рівнянням f (z + w) = f (z), тобто періодичні функції з періодом w . В даному прикладі перетворенням, що не змінює функції, є зрушення плоскості на вектор w . Очевидно, що те ж зрушення, повторене скільки завгодно раз, також не змінює функції. В результаті виходить група лінійних перетворень z’ = z + nw (n = 0 ±1, ±2,...), що не змінюють f (z). В загальному випадку хай Г — деяка група дріб лінійних перетворень;
і G — область, яка кожним з цих перетворень відбивається сама на себе. Тоді функція f , однозначна і аналітична в області G, є А. ф. (по відношенню до даної групи Г), якщо f [T до (z)] = f (z) (до = 1, 2...). Найбільш важливий випадок, коли G є круг або напівплощина. Таку область можна розглядати як зображення плоскості Лобачевського (див. Лобачевського геометрія ), а перетворення групи Г — як рухи в плоскості Лобачевського. Відповідні А. ф. можна розглядати як таке узагальнення періодичних функцій, при якому зрушення в евклідової плоскості замінені рухами в плоскості Лобачевського. Ця точка зору, розвинена А. Пумнкаре, забезпечила успіх в побудові загальної теорії А. ф. (до А. Пуанкаре істотні результати теорії А. ф. отримані Ф. Клейном ). Взагалі, вся теорія А. ф., у її сучасному стані, представляє чудовий приклад плідності геометричних ідей Н. І. Лобачевського в їх застосуванні до завдань математичного аналізу і теорії функцій.
До загальних А. ф., окрім питань конформного відображення, приводить також теорія лінійних диференціальних рівнянь, вивчення алгебри, кривих порядку вище четвертого (див. Геометрія алгебри ), вирішення рівнянь (наприклад, вирішення загального рівняння п'ятої міри з одним невідомим виходить за допомогою А. ф.) алгебри і так далі
Літ.: Форд Л. P., Автоморфні функції, пер.(переведення) з англ.(англійський), М.— Л., 1936; Клейн Ф., Лекції про розвиток математики в 19 столітті, пер.(переведення) з йому.(німецький), ч. 1, М.— Л., 1937, гл.(глав) 8; Голубев Ст Ст, Лекції з аналітичної теорії диференціальних рівнянь, 2 видавництва, М.— Л., 1950; його ж, Однозначні аналітичні функції. Автоморфні функції, М., 1961.
