геометрія Алгебри, розділ математики, що вивчає алгебра різноманіття. Так називається безліч крапок в n-мірному просторі, координати яких (x 1 , x 2 ,...,x n ) є вирішеннями системи рівнянь:
F 1 (X 1 , Х 2 ..., X n ) = 0,
F m (X 1 , x 2 ..., X n ) = 0,
де F i ..., F m — многочлени від невідомих x 1 ..., x n . Кожне різноманіття алгебри має певну розмірність, яка є числом незалежних параметрів, що визначають крапку на різноманітті. Алгебра різноманіття, мають розмірність 1, називаються кривими алгебри, що мають розмірність 2 — алгеброю поверхнями. Прикладами кривих алгебри можуть служити конічні перетини .
Два різноманіття алгебри називаються біраціональний еквівалентними, якщо координати кожної точки одного різноманіття виражаються за допомогою раціональних функцій через координати точки іншого різноманіття, і навпаки. У А. р. алгебра різноманіття зазвичай вивчаються з точністю до біраціональній еквівалентності, тому одному з основних завдань А. р. є побудова біраціональних інваріантів для алгебри многообразій. Найбільш важливі з відомих біраціональних інваріантів будуються за допомогою засобів математичного аналізу (т.з. трансцендентних методів), особливо за допомогою кратних інтегралів по різноманіттю алгебри. Окрім трансцендентних методів, в А. р. часто застосовуються геометричні методи проектній геометрії, а також топологічні методи (див. Топологія ) . Останнє викликане тим, що деякі важливі біраціональні інваріанти, наприклад рід кривої (див. нижчий), алгебрі многообразій носять топологічний характер. Особливо велику роль грає зв'язок А. р. з топологією в світлі теореми японського математика Хіронаки, згідно якої всяке різноманіття алгебри біраціональний еквівалентно різноманіттю, що не має особливих крапок.
Найбільш розроблена частина А. р. — теорія кривих алгебри. Основним біраціональним інваріантом кривої алгебри є її рід.(народився) Якщо крива алгебри плоска, тобто задається в декартових координатах рівнянням F(х, в)= 0, то рід кривої g = (m - 1)(m - 2)/2 - d, де m — порядок кривої, а d — число її подвійних крапок. Род кривої завжди є ціле ненегативне число. Криві роду нуль біраціональний еквівалентні прямим, тобто параметрично можуть бути задані за допомогою раціональних виразів. Криві роду 1 можуть параметризуватися еліптичними функціями і тому називаються еліптичними кривими. Криві роду більше 1 можуть параметризуватися за допомогою автоморфних функцій . Кожна крива роду g, більшого 1, з точністю до біраціональної еквівалентності однозначно визначається 3g - 3 комплексними параметрами, які самі пробігають деяке різноманіття алгебри.
В багатовимірному випадку найбільш вивчений клас алгебри многообразій утворюють абельови різноманіття. Це — замкнуті підрізноманіття проектного простору, такі, що є одночасно групами, причому так, що множення задається раціональними виразами. Множення на такому різноманітті автоматично виявляється комутативним. Крива алгебри є абельовим різноманіттям тоді і лише тоді, коли вона має рід 1, тобто є еліптичній кривій.
Теорія кривих алгебри і теорія абельових многообразій тісно зв'язані між собою. Всяка крива алгебри роду, більшого 0, канонічно занурюється в деяке абельово різноманіття, зване якобієвим різноманіттям для даної кривої. Різноманіття Якобієво є важливим інваріантом кривої і майже повністю визначає саме криву.
Історично А. р. виникла з вивчення кривих і поверхонь низьких порядків. Класифікація кривих третього порядку була дана І. Ньютоном (1704). У 19 ст А. р. поступово переходить від вивчення спеціальних класів кривих і поверхонь до постановки загальних проблем, що відносяться до всіх многообразіям. Загальна А. р. була побудована в кінці 19 і початку 20 вв.(століття) у працях німецького математика М. Нетера, італійських математиків Ф. Енрікеса, Ф. Севері і ін. Свого розквіту А. р. досягає в 20 ст (роботи французького математика А. Вейля, американського математика С. Лефшеца і ін.). Крупні досягнення в А. р. мають радянські математики Н. Р. Чеботарев, І. Р. Петровський, І. Р. Шафаревіч .
А. р. є одним з розділів математики, що найінтенсивніше розвиваються. Методи А. р. надають величезний вплив на таких суміжних з А. р. розділи математики, як теорія функцій багато комплексних змінних, теорія чисел, а також на дальші від А. р. розділи математики — такі, як рівняння в приватних похідних, топологія алгебри, теорія груп і ін.
Літ.: Ван-дер-Варден Би. Л., Сучасна алгебра, пер.(переведення) з йому.(німецький), [2 видавництва], ч. 1—2, М. — Л., 1947; Чеботарев Н. Р., Теорія функцій алгебри, М. — Л., 1948; Ходжа Ст, Підо Д., Методи геометрії алгебри, пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1—3, М., 1954 — 55; Поверхні алгебри, М., 1965; WEII A.. Foundations of algebraic géometry, N. Y., 1946.
