Конічні перетини, лінії, які виходять перетином прямого круга конуса плоскістю, що не проходить через його вершину. До. с. можуть бути трьох типів:
1) січна плоскість пересікає всі створюючі конуса в точках одного нього полості ; лінія пересічення є замкнута овальна крива — еліпс ; коло як окремий випадок еліпса виходить, коли січна плоскість перпендикулярна осі конуса.
2) Січна плоскість паралельна одній з дотичної плоскості конуса; у перетині виходить незамкнута, вирушаюча в нескінченність крива — парабола, цілком лежача на одній порожнині.
3) Січна плоскість пересікає обидві порожнини конуса; лінія пересічення — гіпербола — складається з двох однакових незамкнутих, таких, що тягнуться в нескінченність частин (гілок гіперболи), лежачих на обох порожнинах конуса.
З точки зору аналітичної геометрії До. с.— що не дійсні розпадаються лінії другого порядку .
В тих випадках коли До. с. має центр симетрії (центр), тобто є еліпсом або гіперболою, його рівняння може бути приведене (шляхом перенесення початку координат в центр) до вигляду:
a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .
Подальші дослідження таких (званих центральними) До. с. показують, що їх рівняння можуть бути приведені до ще простішому вигляду:
Ах 2 + Ву 2 = З, (1)
якщо за напрями осей координат вибрати т.з. головні напрями — напрями головних осей (осей симетрії) До. с. Якщо А і В мають однакові знаки (співпадаючі із знайомий З), то рівняння (1) визначає еліпс; якщо А і В різного знаку, то — гіперболу.
Рівняння параболи привести до вигляду (1) не можна. При належному виборі осей координат (одна вісь координат — єдина вісь симетрії параболи, інша — перпендикулярна до неї пряма, що проходить через вершину параболи) її рівняння можна привести до вигляду:
y 2 = 2рх.
До. с. були відомі вже математикам Древньої Греції (наприклад, Менехму, 4в. до н.е.(наша ера)); з допомогою цих кривих вирішувалися деякі завдання на побудову (подвоєння куба і ін.), що виявилися недоступними при використанні простих креслярських інструментів, — циркуля і лінійки. Дослідженнях, що по-перше дійшли до нас, грецькі геометри отримували До. с., проводячи січну плоскість перпендикулярно до однієї із створюючих, при цьому, залежно від кута розчину при вершині конуса (тобто найбільшого кута між створюючими одній порожнині), лінія пересічення виявлялася еліпсом якщо цей кут —острий, параболою, якщо — прямою, і гіперболою, якщо — тупий. Якнайповнішим вигадуванням, присвяченим цим кривим, були «Конічні перетини» Аполонія Пергського (близько 200 до н.е.(наша ера)). Подальші успіхи теорії До. с. пов'язані із створенням в 17 ст нових геометричних методів: проектного (французькі математики Ж. Дезарг, Би. Паськаль) і особливо координатного (французькі математики Р. Декарт, П. Ферма).
При належному виборі системи координат рівняння До. с. може бути наведено до вигляду:
y 2 = 2px + lx 2 ( р і l постійні).
Якщо р ¹ 0, те воно визначає параболу при l = 0, еліпс при l < 0, гіперболу при l > 0. Геометрична властивість До. с., що міститься в останньому рівнянні, було відомо вже старогрецьким геометрам і послужило для Аполлонія Пергського приводом привласнити окремим типам До. с. назви, що збереглися до цих пір: слово «парабола» (грецького parabole) означає додаток (т. до. в грецькій геометрії перетворення прямокутника даної площі y 2 в рівновеликий йому прямокутник з даною підставою 2p називалося додатком даного прямокутника до цієї підстави); слово «еліпс» (грецький élleipsis) — недолік (додаток з недоліком), слово «гіпербола» (грецький hyperbole) — надлишок (додаток з лишком).
З переходом до сучасних методів дослідження стереометричне визначення До. с. було замінено планіметричними визначеннями цих кривих як геометричних місць на плоскості. Так, наприклад, еліпс визначається як геометричне місце крапок, для яких сума відстаней від двох даних крапок (фокусів) має дане значення.
Можна дати інше планіметричне визначення. с., що охоплює всіх трьох типів цих кривих: До. с.— геометричне місце крапок, для кожної з яких відношення її відстаней до даної крапки («фокусу») до відстані до даної прямої («директриси») дорівнює даному позитивному числу («ексцентриситету») е . Якщо при цьому е < 1, то До. с.— еліпс; якщо е > 1, то — гіпербола; якщо е = 1, то — парабола.
Інтерес до До. с. завжди підтримувався тим, що ці криві часто зустрічаються в різних явищах природи і в людській діяльності. У науці До. с. придбали особливе значення після того, як німецький астроном І. Кеплер відкрив із спостережень, а англійський учений І. Ньютон теоретично обгрунтував закони руху планет, один з яких стверджує, що планети і комети Сонячної системи рухаються по До. с., в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Наступні приклади відносяться до окремих типів До. с.: параболу описує снаряд або камінь, окроплений похило до горизонту (правильна форма кривої декілька спотворюється опором повітря); у деяких механізмах користуються зубчастими колесами еліптичної форми («еліптична зубчатка»); гіпербола служить графіком зворотної пропорційності, що часто спостерігається в природі (наприклад, закон Бойля — Маріотта).
Літ.: Александров П. С. Лекції з аналітичної геометрії, М., 1968; Ван дер Варден Би. Л., Наука, що прокидається, пер.(переведення) з голл.(голландський), М., 1959.
