Лінії другого порядку

Лінії другого порядку , плоскі лінії, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню алгебри 2-ої міри

  a ₁₁ x ² + a ₁₂ xy + a ₂₂ y ² + 2a ₁₃ x + 2a ₂₃ в + a ₁₁ = 0. (*)

  Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометричного образу, але для збереження спільності в таких випадках говорять, що воно визначає уявну Л. ст п. Залежно від значень коефіцієнтів загального рівняння (*) воно може бути перетворене за допомогою паралельного перенесення почала і повороту системи координат на деякий кут до одного з 9 приведених нижче канонічних видів, кожному з яких відповідає певний клас ліній. Саме,

  лінії, що не розпадаються:

   — еліпси,

   — гіперболи,

  y ² = 2px — параболи,

   — уявні еліпси;

  лінії, що розпадаються:

   — пари пересічних прямих,

   — пари уявних пересічних прямих,

  x ² - а ² = 0 — пари паралельних прямих,

  x ² + а ² = 0 — пари уявних паралельних прямих,

  x ² = 0 — пари співпадаючих паралельних прямих.

  Дослідження вигляду Л. ст п. може бути проведене без приведення загального рівняння до канонічного вигляду. Це досягається спільним розглядом значень т.з. основних інваріантів Л. ст п. — виразів, складених з коефіцієнтів рівняння (*), значення яких не міняються при паралельному перенесенні і повороті системи координат:

 ,,

  S = a ₁₁ + a ₂₂ , ( a _ij = a _ji ) .

  Так, наприклад, еліпси, як лінії, що не розпадаються, характеризуються тим, що для них D ¹ 0; позитивне значення інваріанта d виділяє еліпси серед інших типів ліній, що не розпадаються (для гіпербол d < 0, для парабол d = 0). Розрізнити випадки дійсного або уявного еліпсів дозволяє зіставлення знаків інваріантів D і S: якщо D і S різних знаків, еліпс дійсний; еліпс уявний, якщо D і S одного знаку.

  Три основні інваріанти D, d і S визначають Л. ст п. (окрім випадку паралельних прямих) з точністю до рухи евклідової плоскість: якщо відповідні інваріанти D, d і S двох ліній рівні, то такі лінії можуть бути поєднані рухом. Іншими словами, ці лінії еквівалентні по відношенню до групи рухів плоскості (метрично еквівалентні).

  Існують класифікації Л. ст п. з точки зору ін. груп перетворень. Так, відносно загальнішою, ніж група рухів, — групи аффінних перетворень — еквівалентними є будь-які дві лінії, визначувані рівняннями одного канонічного вигляду. Наприклад, два подібні Л. ст п. (див. Подібність ) вважаються еквівалентними. Зв'язки між різними аффіннимі класами Л. ст п. дозволяє встановити класифікація з точки зору проектній геометрії, в якій нескінченно видалені елементи не грають особливої ролі. Дійсні Л, що не розпадаються. ст п.: еліпси, гіперболи і параболи утворюють один проектний клас — клас дійсних овальних ліній (овалів). Дійсна овальна лінія є еліпсом, гіперболою або параболою залежно від того, як вона розташована відносно нескінченно видаленою прямою: еліпс пересікає невласну пряму в двох уявних крапках, гіпербола — в двох різних дійсних крапках парабола стосується невласної прямої; існують проектні перетворення, що переводять ці лінії одна в іншу. Є всього 5 проектних класів еквівалентності Л. ст п. Саме,

  невироджувані лінії

  ( x ₁ , x ₂ , x ₃ — однорідні координати):

  x ₁ ² + x ₂ ² — x ₃ ² = 0 — дійсний овал,

  x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² = 0 — уявний овал,

  вироджувані лінії:

  x ₁ ² — x ₂ ² = 0 — пара дійсних прямих,

  x ₁ ² + x ₂ ² = 0 — пара уявних прямих,

  x ₁ ² = 0 — пара співпадаючих дійсних прямих.

  Окрім аналітичного способу визначення Л. ст п., тобто завданням рівняння, існують і ін. способи. Наприклад, еліпс, гіпербола і парабола можуть бути отримані як перетину конуса плоскістю — конічні перетини .

  Літ.: Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії..., М., 1968; Ефімов Н. Ст, Короткий курс аналітичної геометрії, 5 видавництво, М., 1960.

  А. Б. Іванов.