функція Алгебри, функція, що задовольняє рівнянню алгебри . А. ф. належать до найважливіших функцій, що вивчаються в математиці. З них многочлени і приватні многочленів [наприклад,
називаються раціональними, а інші А. ф. — ірраціональними. Простими прикладами останніх можуть служити А. ф., виразимі за допомогою радикалів [наприклад,
Проте існують А. ф., які неможливо виразити через радикали [наприклад, функція в = f ( х ), що задовольняє рівнянню: в 5 + 3 юшок 4 + x 5 = 0]. Прикладами неалгебри, т.з. трансцендентних функцій, що зустрічаються в шкільному курсі алгебри, є: статечна x а (якщо a — ірраціональне число), показова а х , логарифмічна і так далі Загальна теорія А. ф. представляє обширну математичну дисципліну, що має важливі зв'язки з теорією аналітичних функцій (А. ф. складають спеціальний клас аналітичних функцій), алгеброю і геометрією алгебри . найзагальніша А. ф. багатьох змінних u = f ( x , в , z ...) визначається як функція, що задовольняє рівнянню вигляду:
Р про ( х , в , z ...) u n + P 1 ( x , в , z ...) u n-1 + . + P n ( x , в , z ...) = 0, (1)
де Р 0 , Р 1 ..., P n — які-небудь многочлени відносно х , в , z ... . Все вираження, що стоїть в лівій частині, представляє деякий многочлен відносно х , в , z ... і n . Його можна вважати таким, що не приводиться, тобто що не розкладається в твір многочленів нижчих мір; крім того, многочлен P 0 можна вважати не рівним тотожно нулю. Якщо n = 1, то u представляє раціональну функцію ( u = - P 1 / P 0 ), окремим випадком якої — цілою раціональною функцією — є многочлен (якщо P 0 = const ¹ 0). При n > 1 виходить ірраціональна функція; якщо n = 2, то вона виражається через многочлени за допомогою квадратного кореня; якщо n = 3 або n = 4, то для u виходить вираження, що містить квадратне і кубічне коріння.
При n ³ 5 число якого б то не було коріння з многочленів. Ірраціональна А. ф. завжди багатозначна, а саме (при наших позначеннях і припущеннях) є n -значной аналітичною функцією змінних х , в , z ...
Літ.: Чеботарев Н. Р., Теорія функцій алгебри, М. — Л., 1948.
