Чисел теорія
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Чисел теорія

Чисел теорія, наука про цілі числа. Поняття цілого числа, а також арифметичних операцій над числами відомо з давніх часів і є одній з перших математичних абстракцій.

  Особливе місце серед цілих чисел, тобто чисел..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3..., займають натуральні числа — цілі позитивні числа 1, 2, 3...— їх властивості і операції над ними. Всі натуральні числа, великі одиниці, розпадаються на 2 класи: до 1-го класу відносяться числа, що мають рівно двох натуральних дільників, саме одиницю і самого себе, до 2-го — всі інші. Числа 1-го класу стали називати простими, а 2-го — складеними. Властивості простих чисел і їх зв'язок зі всіма натуральними числами вивчалися Евклідом (3 ст до н.е.(наша ера)). Якщо виписувати прості числа підряд, то можна відмітити, що відносна щільність їх убуває: на перший десяток їх доводиться 4, тобто 40%, на сотню — 25, тобто 25%, на тисячу — 168, тобто » 17%, на мільйон — 78 498, тобто » 8%, і т.д., проте їх нескінченно багато (Евклід).

загрузка...

  Серед простих чисел попадаються пари таких, різниця між якими рівна двом (т.з. прості близнята), проте кінцівка або нескінченність таких пар не доведена.

  Евклід вважав очевидним що за допомогою множення лише простих чисел можна отримати всі натуральні числа, причому кожне натуральне число уявно у вигляді твору простих чисел єдиним чином (з точністю до порядку множників). Т. о., прості числа утворюють мультиплікативний базис натурального ряду. Першими завданнями про прості числа були такі: як часто вони розташовані в натуральному ряду і як далеко вони отстоят один від одного. Вивчення розподілу простих чисел привело до створення алгоритму (правила), що дозволяє отримувати таблиці простих чисел. Таким алгоритмом є Ератосфену решето (3 ст до н.е.(наша ера)). Евклід в «Початках» вказав спосіб знаходження загального найбільшого дільника двох чисел ( Евкліда алгоритм ), наслідком якого є теорема про однозначне розкладання натуральних чисел на простих співмножники.

  Питання про цілочисельні вирішення різного вигляду рівнянь також сходить до старовини. Простим рівнянням в цілих числах є лінійне рівняння аХ + by = з , де а , b і з — попарно взаємно прості цілі числа. За допомогою алгоритму Евкліда знаходиться вирішення рівняння аХ + by = 1, з якого потім виходять всі вирішення первинного рівняння. Іншим рівнянням в цілих числах є рівняння X 2 + Y 2 = Z 2 (вирішення Х = 3, Y = 4, Z = 5 пов'язано з ім'ям Піфагора), всі цілочисельні вирішення якого виписані в «Початках» (кн. X, пропозиція 29) X = r 2 —q 2 , Y = 2 rq , Z = r 2 +q 2 , де r і q — цілі числа. Евкліду було відомо також і рівняння аХ 2 +1 = Y 2 , назване згодом Пелля рівнянням . В «Початках» (кн. X, пропозиція 9) Евклід показав, як знаходити всі його рішення, виходячи з найменшого, для випадку а = 2. Систематичний виклад теорії відомих на той час рівнянь в цілих числах даний Діофантом в його «Арифметиці» (середина 3 ст н.е.(наша ера)). Ця книга зіграла велику роль в подальшому розвитку тієї частини Ч. т., яка займається вирішенням рівнянь в цілих числах, званих тепер діофантовимі рівняннями .

  Наступний етап в розвитку Ч. т. пов'язаний з ім'ям П. Ферма, якому належить ряд видатних відкриттів в теорії діофантових рівнянь і в теорії, пов'язаній з подільністю цілих чисел. Їм була висунута гіпотеза, що отримала назву Ферма велика теорема, і доведена теорема, відома як Ферма мала теорема, яка грає важливу роль в теорії порівнянь і її пізніших узагальненнях. Продовжуючи дослідження Ферма по теорії подільності чисел, Л. Ейлер довів теорему, узагальнювальну малу теорему Ферма. Йому належать також і перші доведення великої теореми Ферма для показника n = 3.

  До початку 18 ст в науці про цілі числа накопичилося багато фактів, що дозволили створити стрункі теорії і загальні методи вирішення завдань Ч. т.

  Л. Ейлер був першим з математиків, хто став створювати загальні методи і застосовувати ін. розділи математики, зокрема математичний аналіз, до вирішення завдань Ч. т. Досліджуючи питання про число вирішень лінійних рівнянь вигляду

а 1 X 1 +... + а п Х п = N ,

  де а 1 ..., a n — натуральні числа, в цілих ненегативних числах X 1 , ... , Xn , Л. Ейлер побудував виробляючу функцію Ф ( z ) від змінної z , коефіцієнти якої при розкладанні по мірах z дорівнюють числу вирішень вказаного рівняння. Функція Ф ( z ) визначається як формальний твір рядів

.,

  тобто Ф ( z ) = Ф 1 ( z ) . ... . Ф до ( z ), кожен з яких сходиться при ½ z ½ < 1 і має досить простий вигляд, будучи сумою членів безконечної геометричної прогресії:

.,

  Отже,

  причому I ( N ) число вирішень рівняння, що вивчається. Метод виробляючих функцій Ейлера послужив витоком кругового методу Харді—Літлвуда, розвитком якого, що далеко йде, у свою чергу, з'явився метод тригонометричних сум І. М. Віноградова .

  Іншою проблемою Ч. т., що стимулює створення потужного методу, була проблема простих чисел. Л. Ейлер, доводячи теорему Евкліда про нескінченність числа простих чисел, розглянув твір по всіх простих числах р :

  при s > 1. Цей твір сходиться, і якщо його розкрити, то через однозначність розкладання натуральних чисел на прості співмножники виходить, що воно дорівнює сумі ряду

звідки слідує тотожність Ейлера:

, s > 1.

  Оскільки при s = 1 ряд справа розходиться (гармонійний ряд), то з тотожності Ейлера виходить теорема Евкліда. Ця ідея Л. Ейлера лягла в основу пізніших теорій дзета-функції . Л. Ейлеру і Х. Гольдбаху належать перші постановки аддитивних (тобто пов'язаних із складанням) завдань з простими числами.

  До середини 19 ст в основному було побудовано будівля Ч. т., що пов'язане з іменами До. Гауса, Же. Лагранжа, А. Лежандра, П. Дирихле, П. Л. Чебишева, Же. Ліувіля, Е . Куммера .

  К. Гаусс створює теорію порівнянь, звану інакше арифметикою залишкових класів, за допомогою якої були доведені теорема про те, що просте число є сумою двох квадратів тоді і лише тоді, коли воно має вигляд 4 n + 1, і теорема про уявність кожного натурального числа сумою чотирьох квадратів цілих чисел. Крім того, теорія порівнянь привела до важливих понять теоретіко-числового характеру і тригонометричної суми. Простим характером є Лежандра символ .

  К. Гаусс вивчив властивості квадратичних вирахувань і невирахувань. Основною теоремою в цьому крузі питань є т.з. квадратичний закон взаємності, при доказі якого До. Гаус розглянув кінцеві суми вигляду

0 < а , р — 1, а — ціле.

  Суми такого вигляду і їх узагальнення стали називати тригонометричними, т.к. в силу формули Ейлера e i j = cosj ± i sinj вони можуть бути представлені у вигляді суми синусів і косинусів.

  До. Гаус, а потім П. Дирихле, продовжуючи дослідження Л. Ейлера, створили теорію квадратичних форм, іншими словами, — теорію про представлення натуральних чисел формами вигляду ах 2 + 2 bxy + су 2 , де а , b , з — цілі числа.

  К. Гаусс і П. Діріхле першими стали розглядати проблему про кількість цілих крапок в областях на плоскості. К. Гаусс довів, що число цілих крапок в крузі X 2 +Y 2 £ R 2 рівне p R 2 + O ( R ), а П. Дирихле, у свою чергу, довів, що число цілих крапок з позитивними координатами під гіперболою xy = N рівне

де З Ейлера постійна . Узагальнення цих двох пропозицій, а також знаходження найкращих можливих залишків в написаних формулах (проблема цілих крапок в крузі Гауса і проблема дільників Дирихле) послужили джерелом великої глави Ч. т.

  Теореми про нескінченність числа простих чисел в аріфметіч. прогресіях приватного вигляду, таких, як 4 до ± 1, 6 до ± 1, були відомі давно, проте лише П. Діріхле удалося довести загальну теорему про нескінченність числа простих чисел в прогресіях вигляду

nk + l , n = 0, 1, 2...,

  де до (різниця прогресії) і l (перший її член) взаємно прості. Він розглянув аналог ейлерова твору по всіх простих числах вигляду

  де з( p ) задовольняє умовам: не рівна тотожно нулю, періодична x ( n + до ) = з( n ) з періодом до , сповна мультиплікативна, тобто з( nm ) = з( n ) з( m ) при будь-яких цілих n і m. Цю функцію назвали характером Дирихле. За допомогою характерів Дирихле можна «вирізувати» арифметичні прогресії. Для кожного натурального до існує j( до ) характерів Дирихле (j( до ) — Ейлера функція ), причому якщо розглянути суму чисел( n ) по всіх можливих характерах, , що відповідає, до , то вона буде рівна j( до ), якщо п при діленні на до дає залишок 1, інакше — рівна 0. При s > 1 виходить аналог тотожності Ейлера:

.

  Ряд справа в цій рівності називається рядом Дирихле. Вивчаючи поведінку таких рядів при s ® 1 + 0, Дирихле довів свою теорему про нескінченність числа простих чисел в арифметичній прогресії.

  Характери Дирихле грають важливу роль як в самій Ч. т., так і в інших розділах математики (алгебрі, топології і ін.), а ряди Дирихле складають велику главу в сучасній теорії функцій.

  Новий підхід до проблеми розподілу простих чисел запропонований П. Л. Чебишевим. Позначимо через p( Х ) число простих чисел, не перевершуючих Х. Теорема Евкліда стверджує, що p( Х )® +¥ при Х ® +¥. П. Л. Чебишев довів точніший закон прагнення до нескінченності p( Х ):

  де а > 1 / 2 ln2, b < 2ln2, і твердження, що якщо існує межа

  при Х ® ¥, то ця межа дорівнює 1. П. Л. Чебишеву належить і інше відкриття в теорії простих чисел. За допомогою обчислень було відмічено, що в інтервалі> ( X , 2 Х ), ³ 2, лежить просте число; цю гіпотезу назвали постулатом Бертрана. П. Л. Чебишев довів (1852) цю гіпотезу, причому він отримав точніший результат зменшивши довжину даного інтервалу. Тим самим разом з питанням про прості близнята, тобто про найменше значення різниці p n+1 — р п , виник і став вирішуватися питання про оцінку зверху цій різниці.

  Вивчення невизначених рівнянь, і в першу чергу рівняння Ферма, привело до створення нового розділу Ч. т. — теорії чисел алгебри. Е. Куммер, намагаючись довести теорему Ферма, прийшов до рівності

  де a i коріння n -ої міри з одиниці. Розглядаючи числа вигляду z + a i в , де z і в — цілі, як «нові цілі числа», Е. Куммер побудував арифметику цілих чисел числового поля алгебри, породженого a i , тобто безлічі чисел, яка виходить з a i дорогою застосування до нього всіх чотирьох арифметичних операцій. Якби в такому полі виконувалася теорема про єдиність розкладання цілих чисел на прості співмножники, то тоді записану вище рівність давало б протиріччя. Проте це не завжди так. Е. Куммер, щоб зберегти справедливість цієї теореми, ввів т.з. ідеальні множники. Виникли ряд проблем, вирішення яких привело до теорії алгебри чисел з великою кількістю нових понять і результатів.

  Разом з вивченням властивостей цілих чисел виникло і стало розвиватися новий напрям Ч. т., що вивчає арифметику числової прямої. Вже Л. Ейлер відзначав, що коріння квадратне з цілих чисел і логарифми цілих чисел принципово відрізняються один від одного. Остання обставина знайшла точне математичне формулювання після робіт Ж. Ліувілля (1844), який ввів поняття чисел алгебри і трансцендентних чисел . Виявляється, числа алгебри «погано» наближаються раціональними дробами. Ж. Ліувілль довів, що якщо число алгебри є коренем рівняння міри n , то, наближаючись до нього дробами вигляду P/q , де Р і Q — цілі взаємно прості числа, підійти істотно ближче чим Q ¾ n до нього не можна (теорема Ліувіля). Звідси відразу слідує існування безконечного числа неалгебраїч. чисел, які стали називати трансцендентними. Наприклад, таким буде число

Проте питання про алгебраїчності і трансцендентній конкретних чисел важке, і першими були такі питання про класичних постійних p і е . В кінці 19 — початку 20 вв.(століття) Ч. т. продовжувала розвиватися по багатьом напрямам, причому для вирішення окремих завдань створювалися загальні методи, застосовні до широкого круга завдань, інколи далеко віддалених від первинних. Часто створені тут методи і поняття дають поштовх розвитку нових напрямів.

  Теорія чисел алгебри розділилася на два напрями: одне вивчає конкретні числа, доводячи їх трансцендентну, інше вивчає міру наближення чисел алгебри раціональними або алгеброю. У першому напрямі загальні методи були створені Ш. Ермітом (1873), що довів трансцендентну числа e , і німецьким математиком Ф. Ліндеманом (1882), що довів трансцендентну числа p і що тим самим вирішив завдання про квадратурі круга . В другому — А. Туе (1909) був запропонований метод, за допомогою якого він довів, що в нерівності Ліувіля до числа алгебри не можна підійти істотно ближче чим Q ¾ n/ 2 . Наслідком цього з'явилася теорема Туе про кінцівку числа рішень в цілих числах х і в рівняння

a 0 x n + a 1 x n ¾ 1 y+... + a n ¾ 1 xy n ¾ 1 + a n y n ,

  де a 0 , a 1 , ... , a n , А — цілі числа, n ³ 3.

  Подальше вивчення простих чисел привело до нового методу в Ч. т., пов'язаному з функцією x ( s ). Би. Ріман довів, що дзета-функція x ( s ) аналітично продовжується на всю плоскість комплексного змінного, є аналітичній в кожній крапці плоскості, за винятком s = 1, де вона має полюс першого порядку з вирахуванням, рівним 1, задовольняє функціональному рівнянню x( s )= x(1¾ s ), де

  Г ( s ) гамма-функція, і має нескінченно багато нулів в смузі 0 £ Re s = 1 (ці нулі називають нетривіальними, а смугу — критичною). Він встановив тісний зв'язок між нетривіальними нулями x ( s ) і асимптотичною поведінкою p( х ). Вивчення асимптотичної формули для функції Чебишева

  де L( n )= ln p , якщо n = р до L( n ) = 0, якщо n ¹ p до , еквівалентно такому ж завданню для функції p( х ). Функція Y( х ) може бути виражена через інтеграл від виробляючої функції — x¢( s )/ x( s ):

  Б. Ріман висловив гіпотезу, що всі нетривіальні нулі x ( s ) лежать на прямій Re s = 1 / 2 , з чого виходить, що

в( x )= x + O (ln 2 x ),

  Із справедливості будь-якої з останніх формул виходить гіпотеза Рімана. За аналогічною схемою були вивчені L -ряди Дирихле. У 1896 Ш. Ла Валле Пуссен і Ж. Адамар довели, що x( s 0 в області Re s ³ 1, звідки слідувала формула (асимптотичний закон розподілу простих чисел)

  Окрім цього, Ш. Ла Валле Пуссен довів, що x( s 0 в області

  і що

  де з і c 1 — позитивні постійні. Такий же результат був отриманий ним і для простих чисел в арифметичних прогресіях: якщо p( х , до , l ) число простих чисел вигляду kn + 1, n £ х , до і l— взаємно прості числа, то

  Метод здобуття асимптотичних формул для p( х ), Y( х ), p( х , до , l ), названий методом комплексної інтеграції, знайшов багаточисельні вживання. Основою цього методу служить формула

  Теорія квадратичних форм, почата роботами Л. Ейлера, До. Гауса, П. Дирихле, продовжувала свій розвиток в роботах А. Н. Коркина, Е. І. Золотарева і А. А. Марков . Зокрема, А. Н. Коркин і Е. І. Золотарев довели теорему: змінним будь-якої позитивної кватернарної квадратичної форми визначника D можна додати такі цілі значення, що значення форми не перевершуватиме величини, і існують такі форми, мінімуми яких рівні . Прикладом такої форми є наступна:

.

  Дослідження А. А. Маркова відносилися до вивчення мінімумів бінарних квадратичних форм позитивного визначника і привели до цілого ряду нових відкриттів.

  Проблеми цілих крапок в областях на плоскості отримали свій подальший розвиток в працях Р. Ф. Вороного, що створив (1903) метод, за допомогою якого доведено, що залишковий член в асимптотичній формулі Дирихле для числа цілих крапок під гіперболою має порядок кореня кубічного з головного члена. Пізніше (1906) метод Вороного було перенесено Ст Серпіньським на проблему Гауса цілих крапок в крузі з тим же результатом. В цей же час були зроблені спроби знайти вирішення аддитивних проблем Ч. т. і, зокрема, вирішити Варингу проблему . В 1909 вона була вирішена Д. Гільбертом .

  Друге, третє і четверте десятиліття 20 ст були виключно багаті новими ідеями і методами в Ч. т. Р. Вейль, вирішуючи завдання, пов'язані із стійкістю Сонячної системи, прийшов до поняття рівномірного розподілу дробових доль цілочисельних функцій: дробові долі действітельнозначной функції F ( x ) рівномірно розподілені на [0,1) при х= 1,2,3..., якщо число попадань дробових доль F ( x ) на будь-який інтервал з [0.1) пропорційно довжині цього інтервалу. Він довів, що для рівномірності розподілу дробових доль F ( x ) необхідне і достатнє виконання співвідношення:

,

  при будь-якому фіксованому ½ m ½>0, і отримав нетривіальні оцінки ½ S ( F )½ у разі, коли F ( x ) многочлен, старший коефіцієнт якого є ірраціональне число. І. М. Винограду, вивчаючи розподіл значень символу Лежандра на відрізках малої довжини в порівнянні з модулем, довів (1914) нерівність

, X > 0,

  з якого виходить, що квадратичних вирахувань і невирахувань на будь-якому відрізку, довжина якого трохи більше, асимптотика порівну. Крім того, він висловив гіпотезу, що це буде вірно при Х > р e , де e > 0 — наскільки бажане мале число. У 1917 І. М. Віноградов довів, що число цілих крапок в області 0 < в £ f ( x ), а < x £ b , при певних обмеженнях на порядок зростання другої похідної f ( x ), дорівнює площі цієї області з точністю до складового порядку кореня кубічного з головного члена. Пізніше чеським математиком В. Ярником встановлено, що точність цієї формули при зроблених припущеннях відносно f ( x ) не можна істотно поліпшити.

  Норвезьким математиком В. Бруном доведені (1919) теореми, які в певному значенні наближалися до проблеми простих близнят і проблеми Ейлера. А саме, їм доведена нескінченність числа пар u 1 і u 2 , таких, що u 1 — u 2 = 2 і число простих дільників u 1 і u 2 не перевершує дев'яти; а також вирішувана рівняння u 1 + u 2 = 2 N , з тими ж умовами на u 1 і u 2

  Р. Харді і Дж. Літлвуд опублікували (1922—23) серію мемуарів під загальною назвою «Partitio Numerorum», в яких розвинули загальний метод вирішення аддитивних завдань Ч. т., що отримав згодом назву «круга». Цей метод (на прикладі вирішення проблеми Варингу) полягає в наступному: хай

,,

  тоді

  де I до ( N ) число вирішень рівнянь Варингу, яке знаходять по формулі

.

  Г. Харді і Дж. Літлвуд вивчали останній інтеграл при R ®1— 0. Коло інтеграції певним чином розбивається на «великі» і «малі» дуги (чому і отримав назву метод), при цьому інтеграли по «великих» дугах дають головний член асимптотичної формули для I до ( N ), а по «малих» — залишковий. Т. о. отримують асимптотичну формулу величини

  де s( N ) деякий «особливий ряд»; s( N )³ з > 0, d >0 і до ³ ( n —2) 2 n ¾1 + 5. За допомогою цього методу Г. Харді і Дж. Літлвуд отримали наступні результати: дали нове вирішення проблеми Варингу, причому у формі точнішою, ніж це було у Д. Гильберта; дали умовне вирішення проблеми Гольдбаха; сформулювали і виписали гіпотетичні формули для кількості вирішень великого числа рівнянь з простими числами.

  На початку 30-х рр. 20 ст І. М. Віноградовим був знайдений т.з. метод тригонометричних сум, що дозволив вирішити багато проблем Ч. т. Так, займаючись проблемою Варингу, І. М. Віноградов виявив (1929), що результат Харді — Літлвуду буде значно простіше, якщо замість виробляючих рядів розглядати тригонометричні суми вигляду

,

  де F ( x ) дійсна функція, і користуватися співвідношенням

  Тогда I до ( N ) в проблемі Варингу запишеться так:

,

  де

.

  Далі інтервал інтеграції [0,1] розбивається раціональними нескоротними дробами вигляду а / b , 0 £ а < b £ t, t — параметр, залежний від N , на підінтервали подібні до «великих» і «малих» дуг кругового методу. Інтервали, що відповідають дробам з малими знаменниками, і сума інтегралів по ним дають головний член асимптотичної формули для I до ( N ) . Інші інтервали відповідають «малим» дугам; для них І. М. Віноградов оцінює ½ S (a)½ методом Вейля і отримує залишковий член. До тригонометричних сум зводяться і ін. завдання Ч. т.: розподіл дробових доль функцій, цілі крапки в областях на плоскості і в просторі, порядок зростання дзети-функції в критичній смузі і ін. Причому головним в таких завданнях є питання про можливо точнішу оцінку модуля тригонометричної суми. І. М. Віноградов запропонував два методи оцінок тригонометричних сум. Перший метод (1934) дав можливість отримати нові оцінки сум Вейля. Наслідком цього з'явилися сучасні оцінки, виведена асимптотична формула в проблемі Варингу при до ³ 4 n 2 ln n , доведено, що для вирішуваної рівняння Варингу при N ³ N 0 ( n ) досить не більш 3 n ln n + 11 n доданків, отриманий новий залишковий член в асимптотичних формулах для p( x ) і в( х ) (І. М. Винограду, 1957) порядку

, з > 0,

  отримане вирішення проблеми Гільберта — Камке (До. До. Марджанішвілі, 1953).

  Другий метод Віноградова (1937) дозволив оцінити такі тригонометричні суми, в яких підсумовування ведеться по простих числах:

.

  Це привело до доказу асимптотичної формули для числа представлень непарного числа сумою три простих, з якої виходило, що всі чималі непарні числа є сумою три простих. Тим самим була вирішена Гольдбаха проблема . Цей метод привів до вирішення інших загальних завдань Ч. т., наприклад проблеми Варингу в простих числах, проблеми розподілу квадратичних вирахувань і невирахувань в послідовностях вигляду р + а , де р набуває значень простих чисел.

  Розвиток ідей А. Туе (побудова допоміжного многочлена з високою кратністю кореня) і Д. Пойа (США) (ціла аналітична функція, що набуває в цілих позитивних крапках цілих значень і зростаюча повільніше 2 g ½ S ½ , g < 1, є многочленом) привело А. О. Гельфонда і йому.(німецький) математика Т. Шнейдера (1934) до вирішення 7-ої проблеми Гільберта, що затверджує трансцендентну чисел вигляду a b , а ¹0,1, b — число алгебри міри ³ 2. До. Зігеля довели ряд теорем про трансцендентну значень функцій типа e x (т.з. Е -функциі) в крапках алгебри.

  В алгебрі Ч. т. доведений ряд теорем, узагальнювальних теореми теорії цілих чисел на цілі числа числових полів алгебри; деякі з них привели і до чисто арифметичних результатів, сюди, зокрема відноситься теорія представлень чисел повними і неповними розкладними формами (простим з таких завдань є рівняння Пелля). Розвинена також теорія вирішень порівнянь від двох і більш змінних, з якої, наприклад, витікає, що порівняння

F ( x , в ) º 0 (mod р ),

  де F — многочлен, що абсолютно не приводиться, має  рішень (теорема Хассе — Вейля).

  Починаючи з кінця 40-х рр. і по теперішній час (1978) в Ч. т. з'явилися багато робіт в самих різних напрямах. Дослідження ведуться як в класичних областях, так і в нових. Радянськими математиками Б. Н. Делоне і Д. До. Фаддєєвим повністю досліджене діофантово рівняння x 3 — ау 3 = 1 (1940). У теорії дзети-функції Рімана А. Сельберг (Норвегія, 1942) довів, що кінцева доля всіх нулів z( s ) лежить на критичній прямій Re s = 1 / 2 ; Ю. Ст Лінник довів, що найменше просте число в арифметичній прогресії з різницею до не перевершує k з , з — постійна, і розробив дисперсійний метод (1958—1961), за допомогою якого вивів асимптотичну формулу для числа вистав натурального N сумою простого і двох квадратів (проблема Харді — Літлвуду); цим же методом він отримав асимптотичну формулу для числа вирішень невизначеного рівняння вигляду р а = ху , р £ N , ху £ N , а — фіксоване ціле (проблема простих дільників Тітчмарша). Метод тригонометричних сум Віноградова отримав подальший розвиток в роботах самого І. М. Віноградова і його учнів. Безуспішні спроби довести гіпотезу Рімана привели до ряду методів, які обходять її і в той же час дозволяють вирішити певні завдання Ч. т., що виводяться з цієї гіпотези. Сюди відноситься проблема оцінки різниці p n+1 р п = D n , яка зведена до оцінці числа нулів дзети-функції в прямокутниках вигляду s £ Re s £ 1, s > 1 / 2 ½Im s ½£ Т. З таких теорем «щільності» і кордону нулів x( s ), отриманою на основі методу Віноградова, витікає, що p n+1 р п = Про ( р п 0,6 ). До подібного роду результатам прийшли і в теорії розподіли простих чисел в арифметичних прогресіях і її застосуваннях до аддитивних завдань з простими числами.

  В теорії трансцендентних чисел англійського математика К. Рот (1955) підсилив метод Туе і довів, що число алгебри не може бути наближене раціональним дробом P/q істотно точніше, ніж Q ¾2 ¾ e , e>0 — довільно мало; англійський математик А. Бейкер (1966) отримав оцінку знизу лінійної форми логарифмів чисел алгебри, що привело до ефективного доведення теореми Туе про кінцівку вирішень рівняння

a 0 x n + a 1 x n ¾ 1 в +... + a n—1 xy n—1 + а п у n = А

(вказуються кордони цих рішень) і до ефективного посилення теореми Ліувіля про наближення чисел алгебри раціональними дробами. Велика кількість проблем Ч. т. ще не вирішено (сюди відносяться проблеми простих близнят, нескінченність простих чисел вигляду n 2 + 1, цілих крапок в крузі і під гіперболою, розподіли нулів дзети-функції, трансцендентна чисел p+ е і постійною Ейлера і мн.(багато) ін.).