Діофантови рівняння (по імені старогрецького математика Діофанту ), рівняння алгебри або системи рівнянь алгебри з цілими коефіцієнтами, що мають число невідомих, що перевершує число рівнянь, і в яких розшукуються цілі або раціональні рішення. Поняття Д. в. у сучасній математиці розширено: це рівняння, в яких розшукуються рішення в числах алгебри . Д. в. називаються також невизначеними. Просте Д. в. ах + by = 1, де а і b — цілі взаємно прості числа, має нескінченно багато рішень: якщо x 0 і у 0 — одне рішення, то числа х = x 0 + bn , в = y 0 - an ( n — будь-яке ціле число) теж будуть рішеннями. Так, всі цілі вирішення рівняння 2 x + 3 в = 1 виходять по формулах х = 2 + 3 n , в = - 1 — 2 n (тут x 0 = 2, у 0 = - 1). Іншим прикладом Д. в. є x 2 + у 2 = z 2 . Цілі позитивні вирішення цього рівняння представляють довжини катетів х , в і гіпотенуз z прямокутних трикутників з цілочисельними довжинами сторін і називаються піфагоровимі числами . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел можна отримати по формулах х = m 2 - n 2 , в = 2 mn , z = m 2 + n 2 , де m і n — цілі числа ( m > n > 0).
Діофант у вигадуванні «Арифметики» займався розшуком раціональних (не обов'язково цілих) вирішень спеціальних видів Д. в. Загальна теорія вирішення Д. в. першому ступеню була створена в 17 ст французьким математиком До. Р. Баше; до початку 19 ст працями П. Ферма, Дж. Валліса, Л. Ейлера, Же. Лагранжа і К. Гауса в основному було досліджено Д. в. вигляду
ах 2 + bxy + су 2 + dx + еу + f = 0,
де а , b , з , d , е , f — цілі числа, тобто загальне неоднорідне рівняння другої міри з двома невідомими. Ферма стверджував, наприклад, що Д. в. x 2 — dy 2 = 1 (Пелля рівняння ), де d — ціле позитивне число, що немає квадратом, має нескінченно багато рішень. Валліс і Ейлер дали способи вирішення цього рівняння, а Лагранж довів нескінченність числа рішень. За допомогою безперервних дробів Лагранж досліджував загальне неоднорідне Д. в. другій мірі з двома невідомими. Гаус побудував загальну теорію квадратичних форм, що є основою вирішення деяких типів Д. в. У дослідженнях Д. в. міри вище другий з двома невідомими були досягнуті серйозні успіхи лише в 20 ст А. Туз встановив, що Д. в.
a 0 x n + a 1 x n-1 в +... + a n y n = з
(де n ³ 3, a 0 , а 1 ..., a n з — цілі і многочлен a 0 t n + a 1 , t n-1 +...+ a n не приводиться в полі раціональних чисел) не може мати безконечного числа цілих рішень. Англійським математиком А. Бейкером отримані ефективні теореми про кордони рішень деяких таких рівнянь. Би. Н. Делоне створив інший метод дослідження, вужчий клас Д, що охоплює. в., але що дозволяє визначати кордони числа рішень. Зокрема, його методом повністю вирішується Д. в. вигляду
ax 3 + y 3 =1.
Існує багато напрямів теорії Д. в. Так, відомим завданням теорії Д. в. є Ферма велика теорема . Радянським математикам (Би. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. До. Фаддєєву і ін.) належать фундаментальні роботи по теорії Д. в.
Літ.: Гельфонд А. О., Вирішення рівнянь в цілих числах, 2 видавництва, М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.
