Квадратична форма, форма 2-ої міри від n змінних x 1 , x 2 ..., x n , тобто многочлен від цих змінних, кожен член якого містить або квадрат один із змінних, або твір двох різних змінних. Загальний вигляд До. ф. при n = 2:
,
при n = 3:
,
де а , b ,..., f — які-небудь числа. Довільна До. ф. записується так:
;
причому вважають, що а ij = а j i . До. ф. від 2, 3 і 4 змінних безпосередньо пов'язані з теорією ліній (на плоскості) і поверхонь (у просторі) 2-го порядку: у декартових координатах рівняння лінії і поверхні 2-го порядку, віднесених до центру, має вигляд А ( х ) = 1, тобто його ліва частина є До. ф.; в однорідних координатах ліва частина будь-якого рівняння лінії і поверхні 2-го порядку є До. ф. При заміні змінних x 1 , x 2 ..., x n ін. змінними в 1 , в 2 ..., в n , лінійними комбінаціями старих змінних, що є, До. ф. переходить в іншу До. ф. Шляхом відповідного вибору нових змінних (невиродженого лінійного перетворення) можна привести До. ф. до вигляду суми квадратів змінних, помножених на деякі числа. При цьому ні число квадратів (ранг До. ф.), ні різниця між числом позитивних і числом негативних коефіцієнтів при квадратах (сигнатура До. ф.) не залежать від способу приведення До. ф. до суми квадратів (закон інерції). Вказане приведення можна здійснити навіть спеціальними (т.з. ортогональними) перетвореннями. Геометрично в цьому випадку таке перетворення відповідає приведенню лінії або поверхні 2-го порядку до головних осей.
При розгляді комплексних змінних вивчаються До. ф. вигляду
де — число, комплексно зв'язане з x j . Якщо, крім того, така До. ф. набуває лише дійсних значень (це буде, коли (), то її називають ермітової. Для ермітових форм справедливі основні факти, що відносяться до дійсних До. ф.: можливість приведення до суми квадратів, інваріантність рангу, закон інерції.
Літ.: Мальцев А. І., Основи лінійної алгебри, 3 видавництва, М., 1970.
