Характер в математиці, функція спеціального вигляду, вживана в чисел теорії і теорії груп .
В теорії чисел Х. називають функцію з( n )¹ 0, визначену для всіх цілих чисел n і таку, що: 1) з( nm )= з( n ) з( m ) для всіх n і m , 2) існує таке ціле число до (період), що з( n + до )= з( n ) для всіх n . Найменший з позитивних періодів називається основним модулем характеру з, а характер з основним модулем до позначається з( n , до ). Прикладами Х. є: 1) головний Х. по модулю до ; з( n , до )= 0, якщо ( n , до ) > 1, і з( n , до )= 1, якщо ( n , до ) = 1, 2) з( n , до )= 0, якщо ( n , до ) > 1, з( n , до )=, якщо ( n , до ) = 1, — Якобі символ, до > 1 — непарне натуральне число. Х. міри q по модулю до називається Х., рівний одиниці для чисел і, для яких вирішуване порівняння x q º а (mod до ) (див. Статечною вирахування ). Такі Х. грають важливу роль в теорії чисел алгебри. Багато питань теорії чисел (наприклад, питання про розподіл простих чисел) пов'язано з вивченням функцій L ( s з) = (т.з. L -функций Дирихле). Окремим випадком таких функцій є дзета-функція x( s ), для якої Х ( n ) º 1.
Умова періодичності з( n + до )= з( n ) дозволяє трактувати характери( n , до ) при фіксованому до > 1 як функції, задані на приведеній системі вирахувань по модулю до , що розглядається як група по множенню, і що задовольняють там функціональному рівнянню:
з( ab )= з( а ) з( b ). (1)
Таке трактування поняття Х. дозволяє безпосередньо перенести його на будь-яку кінцеву комутативну групу G . При цьому, якщо n — порядок, e — одиниця, а — довільний елемент групи G , то [з( а )] n = з( a n ) = з( e )= 1, тобто з( а ) — корінь n -ої міри з одиниці: зокрема
|c( а )| º 1. (2)
Х. довільної комутативної групи G (не обов'язково кінцевою) називають всяку функцію з( а ), визначену на G і що задовольняє умовам (1) і (2). Якщо G — топологічна група, то вимагають ще, щоб з( а ) була безперервна.
Сукупність всіх Х. групи G утворює групу G 1 , відносно звичайного множення Х. як функцій. Якщо G кінцева, то G 1 ізоморфна G . Для безконечних груп це вже, взагалі кажучи, невірно. Наприклад, якщо G — група цілих чисел, то її Х. служать з( n )= e in j , де (j — будь-яке дійсне число, приведене по модулю 2p, так що група Х. збігається з групою обертань кола. У свою чергу, група Х. для групи обертань кола збігається з групою цілих чисел [кожен такий Х. має вигляд: з(j)= e in j ]. Ця подвійність була узагальнена Л.С. Понтрягиним на широкий клас груп і застосована до вирішення важливих проблем топології (т.з. проблем подвійності для компакт-дисків).
Літ.: Понтрягин Л. С., Безперервні групи, 3 видавництва, М. 1973; Диваків Н. Р., Введення в теорію l-функцій Дирихле, М. — Л., 1947; Ленг С., Алгебра, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1968; Боревіч З. І., Шафаревіч І. Р., Теорія чисел, 2 видавництва, М., 1972.
