де Р = P ( x , в , z ), Q = Q ( x , в , z ), R = R ( x , в , z ) — задані функції, називаються криві, визначувані системою звичайних диференціальних рівнянь
. (2)
Інтегруючи систему (2), отримують сімейство характеристик j( x , в , z )= C 1 , в( x , в , z )= C 2 ( C 1 , C 2 — довільні постійні) як сукупність кривих, що стосуються в кожній своїй точці вектора { P , Q , R }. Всяка інтегральна поверхня рівняння (1) є геометричним місцем Х., що пересікають деяку криву; рівняння такої поверхні може бути записане у вигляді F [j( x , в , z ), в( x , в , z )] = 0, де F — деяка функція два змінних. Назад, щоб знайти інтегральну поверхню, що проходить через задану криву (див. Коші завдання ), досить побудувати геометричне місце Х., що пересікають цю криву. Завдання Коші має одне і лише одне рішення, якщо задана крива немає Х. Понятіє Х. узагальнюється на випадок диференціального рівняння 1-го порядку з числом незалежних змінних, великим два.
Х. диференціального рівняння 2-го порядку
(3)
були введені Р. Монжем (1784, 1795) як лінії, уздовж яких задовольняється звичайне диференціальне рівняння
. (4)
Якщо рівняння (3) належить до гіперболічного типа, то виходять два сімейства Х. з рівняннями x( x , в )= C 1 і h( х , в )= C 2 ( C 1 , C 2 — довільні постійні); узявши x і h за нові аргументи, можна привести рівняння (3) вигляду
.
Для рівняння (3) параболічного типа ці сімейства збігаються; якщо вибрати аргумент h довільно, то рівняння (3) приведеться до вигляду
.
Рівняння (3) еліптичного типа не має речових Х.; якщо записати вирішення рівняння (4) у вигляді x ± i h = C , те рівняння (3) перетвориться до вигляду
.
Значення вирішення і уздовж Х. і значення і в якій-небудь її крапці повністю визначають значення цих похідних уздовж всієї лінії [на цьому заснований т.з. метод Х. вирішення краєвих завдань для рівняння (3)]; для інших ліній такого зв'язку немає. З іншого боку, значення u , і, задані на лінії, що немає Х., визначають значення рішення поблизу цієї лінії; для Х. же це не так. Якщо два вирішення рівняння (3) збігаються по одну сторону від деякої лінії і різні по іншу, то ця лінія неодмінно є Х.
Якщо коефіцієнти рівняння (3) залежать від u , і (квазілінійний випадок), то Х., визначувані з рівняння (4), будуть різні для різних рішень. Є визначення Х. і для рівнянь і систем рівнянь з приватними похідними будь-якого порядку.
