Рівняння математичної фізики, диференціальні рівняння з приватними похідними, а також деякі родинні рівняння інших типів (інтегральні, інтегро-дифференційні і т.д.), до яких приводить математичний аналіз фізичних явищ. Для теорії В. м. ф. характерна постановка завдань у такому вигляді, як це необхідно при дослідженні фізичного явища. Круг В. м. ф. з розширенням сфери застосування математичного аналізу також неухильно розширюється. При систематизації отриманих результатів з'являється необхідність включити в теорію В. м. ф. рівняння і завдання загальнішого вигляду, ніж ті, які з'являються при аналізі конкретних явищ; проте і для таких рівнянь і завдань характерне те, що їх властивості допускають більш менш наочне фізичне тлумачення (див. Математична фізика ).
Класифікація рівнянь математичної фізики. Значна частина В. м. ф. складають лінійні рівняння з приватними похідними 2-го порядку загального вигляду:
, (1)
де всі коефіцієнти а ij ( а ij = а ij ) , b i , з і правою частиною f є заданими функціями незалежних змінних x 1 , x 2 ..., х п ( n ³ 2) , а u – шукана функція тих же аргументів. Властивості вирішень рівняння (1) істотно залежать від знаків коріння (алгебри відносно l) рівняння
= 0, (2)
і тому класифікація рівнянь (1) проводиться відповідно до цих знаків. Якщо все n коріння рівняння (2) мають однаковий знак, то говорять, що рівняння (1) належить до еліптичного типа; якщо один з коріння має знак, протилежний до знаку останніх n, – 1 коріння, – до гіперболічного типа; нарешті, якщо рівняння (2) має один нульовий корінь, а інше коріння однакового знаку, – до параболічного типа. Якщо коефіцієнти а ij постійні, то рівняння (1) належить до певного типа незалежно від значень аргументів; якщо ж ці коефіцієнти залежать від x 1 ..., х п , те і коріння рівняння (2) залежить від x 1 ..., х п , а тому рівняння (1) може належати до різних типів при різних значеннях аргументів. У останньому випадку (рівняння змішаного типа) область зміни аргументів, що вивчається, складається із зон, в яких тип рівняння (1) зберігається. Якщо корінь рівняння (2), переходячи від позитивних значень до негативних, перетворюється на нуль, то між зонами еліпсної і гіперболічності розташовані зони параболічності (треба відзначити, що і у ряді ін. стосунків параболічного рівняння займають проміжне положення між еліптичними і гіперболічними).
Для лінійних рівнянь з приватними похідними вище за 2-й порядок і для систем рівнянь з декількома шуканими функціями класифікація складніша.
– просте рівняння гіперболічного типа, а також відповідні неоднорідні рівняння (у правій частині яких додані відомі функції) – телеграфне рівняння і т.д. Рівняння і системи цього типа з'являються при аналізі різних коливань і хвилевих процесів. Властивості рівнянь і систем гіперболічного типа багато в чому аналогічні властивостям приведених простих таких рівнянь.
– просте рівняння еліптичного типа і відповідне неоднорідне рівняння – Пуассона рівняння . Рівняння і системи еліптичного типа з'являються зазвичай при аналізі стаціонарних станів. Теплопровідності рівняння :
– простий приклад рівняння параболічного типа. Рівняння і системи параболічного типа з'являються зазвичай при аналізі процесів вирівнювання.
Першим прикладом рівнянь змішаного типа з'явилося т.з. рівняння Трікомі:
Для цього рівняння напівплощина служить зоною еліпсної, напівплощина в < 0 – зоною гіперболічності, а пряма в = 0 – зоною параболічності.
Ряд завдань математичної фізики приводить до інтегральним рівнянням різних типів. Так, наприклад, інтегральні рівняння Вольтерра виникають в тих завданнях фізики, в яких існує переважний напрям зміни незалежного змінного (наприклад, часу, енергії і т.д.). У завданні про крутильні коливання виникає деяке інтегро-дифференційне рівняння .
Постановка завдань і методи вирішення рівнянь математичної фізики. На першому етапі розвитку теорії В. м. ф. багато зусиль було витрачено на відшукання їх загального рішення. Вже Ж. Д''Аламбер (1747) отримав загальне вирішення хвилевого рівняння. Грунтуючись на підстановках, Л, що застосовувалися. Ейлером (1770), П. Лапласа запропонував (1773) «каскадний метод», що дає загальне вирішення деяких ін. лінійних однорідних гіперболічних рівнянь 2-го порядку з двома аргументами. Проте таке загальне рішення удалося знайти у вельми окремих випадках; на відміну від звичайних диференціальних рівнянь, для рівнянь з приватними похідними не виділено жодного скільки-небудь значного класу рівнянь, для яких загальне рішення може бути отримане у вигляді достатній простій формули. Крім того, виявилося що при аналізі фізичних процесів В. м. ф. зазвичай з'являються разом з додатковими умовами, характер яких корінним чином впливає на напрям дослідження рішення (див. Краєві завдання, Коші завдання ).
Широкого поширення набули методи наближеного вирішення краєвих завдань, в яких завдання зводиться до вирішення системи рівнянь (див. Рітца і Галеркіну методи . Сіток метод ) алгебри (зазвичай лінійних) . При цьому за рахунок збільшення числа невідомих в системі можна досягти будь-якої міри точності наближення.
Літ.: Володимирів Ст С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва, М. 1971; Годунове. До., Рівняння математичної фізики, М., 1971; Собольов С. Л., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва, М., 1966; Тіхонов А. Н., Самара А. А., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва, М., 1972.
