Хвилеве рівняння
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Хвилеве рівняння

Хвилеве рівняння, диференціальне рівняння з приватними похідними, що описує процес поширення обурень в деякому середовищі. В разі малих обурень і однорідного ізотропного середовища Ст в. має вигляд:

 

загрузка...

де х , в , z — просторові змінні, t час, u = u ( х , в z ) — шукана функція, що характеризує обурення в крапці ( х , в , z ) у момент t , а — швидкість поширення обурення. Ст в. є одним з основних рівнянь математичної фізики і широко використовується в додатках. Якщо u залежить лише від двох (одній) просторових змінних, то Ст в. спрощується і називається двовимірним (одновимірним). Ст в. допускає рішення у вигляді тієї, що «розходиться сферичної хвилі»:

  u = f ( t - r / а ) / r ,

де f — довільна функція, а

 

  Особливий інтерес представляє так зване елементарне рішення (елементарна хвиля):

  u = δ ( t - r / а )/ r

(де δ — дельта-функція ), що дає процес поширення обурення, виробленого миттєвим точковим джерелом (що діяв на початку координат при t = 0). Образно кажучи, елементарна хвиля є «безконечним сплеском» на колі r = at , що віддаляється від початку координат із швидкістю а з поступовим зменшенням інтенсивності. За допомогою накладення елементарних хвиль можна описати процес поширення довільного обурення.

  Малі коливання струни описуються одновимірним Ст у.:

 

Же. Д''Аламбер запропонував (1747) метод вирішення цього Ст в. у вигляді накладення прямої і зворотної хвиль: u = f ( x - at ) + g ( x + at ), а Л. Ейлер (1748) встановив, що функції f і g визначаються завданням так званих початкових умов .

  Літ.: Тіхонов А. Н. і Самара А. А., Рівняння математичної фізики, 3 видавництва, М. 1966.

  П. І. Лізоркин.