Математична фізика , теорія математичних моделей фізичних явищ; займає особливе положення і в математиці, і у фізиці, знаходячись на стику цих наук.
М. ф. тісно пов'язана з фізикою в тій частині, яка стосується побудови математичної моделі, і в той же час — розділ математики, оскільки методи дослідження моделей є математичними. У поняття методів М. ф. включаються ті математичні методи, які застосовуються для побудови і вивчення математичних моделей, що описують великі класи фізичних явищ.
Методи М. ф. як теорії математичних моделей фізики почали інтенсивно розроблятися в працях І. Ньютона по створенню основ класичної механіки, усесвітнього тяжіння, теорії світла. Подальший розвиток методів М. ф. і їх успішне застосування до вивчення математичних моделей величезного круга різних фізичних явищ пов'язані з іменами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, П. Лапласа, Же. Фур'є, До. Гауса, Би. Рімана, М. Ст Остроградського і багатьох інших учених. Великий внесок у розвиток методів М. ф. внесли А. М. Ляпунов і В. А. Стеклов . Починаючи з 2-ої половини 19 століть методи М. ф. успішно застосовувалися для вивчення математичних моделей фізичних явищ, пов'язаних з різними фізичними полями і хвилевими функціями в електродинаміці, акустиці, теорії пружності, гидро- і аеродинаміці і ряду інших напрямів дослідження фізичних явищ в суцільних середовищах. Математичні моделі цього класу явищ найчастіше описуються за допомогою диференціальних рівнянь з приватними похідними, що отримали назву рівнянь математичної фізики . Окрім диференціальних рівнянь М. ф., при описі математичних моделей фізики вживання знаходять інтегральні рівняння і інтегро-дифференційні рівняння, варіаційні і теоретіко-імовірнісні методи, теорія потенціалу, методи теорії функцій комплексного змінного і ряд інших розділів математики. У зв'язку з бурхливим розвитком обчислювальної математики особливого значення для дослідження математичних моделей фізики набувають прямі чисельні методи, що використовують ЕОМ(електронна обчислювальна машина), і в першу чергу кінечно-різницеві методи вирішення краєвих завдань. Теоретичні дослідження в області квантової електродинаміки, аксіоматичній теорії поля і ряду інших напрямів сучасної фізики привели до створення нового класу математичних моделей, що склали важливу галузь М. ф. (наприклад, теорія узагальнених функцій, теорія операторів з безперервним спектром).
Постановка завдань М. ф. полягає в побудові математичних моделей, що описують основні закономірності класу фізичних явищ, що вивчається. Така постановка полягає у виведенні рівнянь (диференціальних, інтегральних інтегро-дифференційних або алгебрі), яким задовольняють величини, що характеризують фізичний процес. При цьому виходять з основних фізичних законів, що враховують лише найбільш істотні межі явища, відволікаючись від ряду його другорядних характеристик. Такими законами є зазвичай закони збереження, наприклад, кількості руху, енергії, числа часток і так далі Це приводить до того, що для опису процесів різної фізичної природи, але що мають загальні характерні межі, виявляються застосовними одні і ті ж математичні моделі. Наприклад, математичні завдання для простого рівняння гіперболічного типа
,
отриманого спочатку (Ж. Д’Аламбер, 1747) для опису вільних коливань однорідної струни, виявляються застосовними і для опису широкого круга хвилевих процесів акустики гідродинаміки, електродинаміки і інших галузей фізики. Аналогічно, рівняння
,
краєві завдання для якого спочатку вивчалися П. Лапласом (кінець 18 століть) у зв'язку з побудовою теорії тяжіння (див. Лапласа рівняння ), надалі знайшло вживання при рішенні багатьох проблем електростатики, теорії пружності, завдань сталого руху ідеальній рідині і так далі Кожній математичній моделі фізики відповідає цілий клас фізичних процесів.
Для М. ф. характерний також те, що багато загальних методів, використовуваних для вирішення завдань М. ф., розвинулися з приватних способів вирішення конкретних фізичних завдань і в своєму первинному вигляді не мали строгого математичного обгрунтування і достатньої завершеності. Це відноситься до таких відомих методів вирішення завдань М. ф., як Рітца і Галеркіну методи, до методів теорії обуренні, перетворень Фур'є і багатьом іншим, включаючи метод розділення змінних. Ефективне вживання всіх цих методів для вирішення конкретних завдань є одній з причин для їх строгого математичного обгрунтування і узагальнення, що приводить у ряді випадків до виникнення нових математичних напрямів.
Дія М. ф. на різні розділи математики виявляється і в тому, що розвиток М. ф., що відображає вимоги природних наук і запити практики, спричиняє за собою переорієнтацію спрямованості досліджень в деяких розділах математики, що вже склалися. Постановка завдань М. ф., пов'язана з розробкою математичних моделей реальних фізичних явищ, привела до зміни основної проблематики теорії диференціальних рівнянь з приватними похідними. Виникла теорія краєвих завдань, що дозволила згодом пов'язати диференціальні рівняння з приватними похідними з інтегральними рівняннями і варіаційними методами.
Вивчення математичних моделей фізики математичними методами не лише дозволяє отримати кількісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданою мірою точності хід реальних процесів, але і дає можливість глибокого проникнення в саму суть фізичних явищ, виявлення прихованих закономірностей, передбачення нових ефектів. Прагнення до детальнішого вивчення фізичних явищ приводить до все більшому ускладненню тих, що описують ці явища математичних моделей, що, у свою чергу, робить неможливим вживання аналітичних методів дослідження цих моделей. Це пояснюється, зокрема, тим, що математичні моделі реальних фізичних процесів є, як правило, нелінійними, тобто описуються нелінійними рівняннями М. ф. Для детального дослідження таких моделей успішно застосовуються прямі чисельні методи з використанням ЕОМ(електронна обчислювальна машина). Для типових завдань М. ф. вживання чисельних методів зводиться до заміни рівняннями М. ф. для функцій безперервного аргументу рівняннями алгебри для сіткових функцій, заданих на дискретній безлічі крапок (на сітці). Іншими словами, замість безперервної моделі середовища вводиться її дискретний аналог. Вживання чисельних методів у ряді випадків дозволяє замінити складний, трудомісткий і дорогий фізичний експеримент значно економічнішим математичним (чисельним) експериментом. Досить повно проведений математичний чисельний експеримент є основою для вибору оптимальних умов реального фізичного експерименту, вибору параметрів складних фізичних установок, визначення умов прояву нових фізичних ефектів і так далі Таким чином чисельні методи незвичайно розширюють область ефективного використання математичних моделей фізичних явищ.
Математична модель фізичного явища, як всяка модель, не може передати всіх меж явища. Встановити адекватність прийнятої моделі досліджуваному явищу можна лише за допомогою критерію практики, зіставляючи результати теоретичних досліджень прийнятої моделі з даними експериментів.
У багатьох випадках про адекватність прийнятої моделі можна судити на підставі вирішення зворотних завдань М. ф., коли про властивості явищ природи, що вивчаються, недоступних для безпосереднього спостереження, робляться висновки за результатами їх непрямих фізичних проявів.
Для М. ф. характерне прагнення будувати такі математичні моделі, які не лише дають опис і пояснення вже встановлених фізичних закономірностей круга явищ, що вивчається, але і дозволяють передбачити ще не відкриті закономірності. Класичним прикладом такої моделі є теорія усесвітнього тяжіння Ньютона, що дозволила не лише пояснити рух відомих до моменту її створення тіл Сонячної системи, але і передбачати існування нових планет. З іншого боку, нові експериментальні дані, що з'являються, не завжди можуть бути пояснені в рамках прийнятої моделі. Для їх пояснення потрібне ускладнення моделі.
Літ.: Тіхонов А. Н., Самара А. А., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва, М., 1972; Володимирів Ст С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва, М., 1971; Собольов С. А., Рівняння математичної фізики, М., 1966; Курант Р., Рівняння з приватними похідними, переклад з англійського, М., 1964; Морс Ф. М., Фешбах Р., Методи теоретичної фізики, переклад з англійського, т. 1—2, М., 1958.
