Обчислювальна математика, розділ математики, що включає круг питань, зв'язаних з використанням електронних обчислювальних машин (ЕОМ). Вміст терміну «В. м.» не можна вважати сталим, оскільки ця область інтенсивно розвивається у зв'язку з швидко зростаючими вживаннями ЕОМ(електронна обчислювальна машина) в нових напрямах. Часто термін «В. м.» розуміється як теорія чисельних методів і алгоритмів вирішення типових математичних завдань. Це тлумачення терміну «В. м.» набуло поширення на первинному етапі, коли використання ЕОМ(електронна обчислювальна машина) пред'явило нові вимоги до чисельних методів; основним завданням на цьому етапі була розробка нових методів, «зручних» для ЕОМ(електронна обчислювальна машина). Нижче за Ст м. розуміється в першому — широкому сенсі цього терміну.
В Ст м. можна виділити наступні три великі розділи. Перший пов'язаний з вживанням ЕОМ(електронна обчислювальна машина) в різних областях наукової і практичної діяльності і може бути охарактеризований як аналіз математичних моделей. Другий — з розробкою методів і алгоритмів вирішення типових математичних завдань, що виникають при дослідженнях математичних моделей. Третій розділ пов'язаний з питанням про спрощення взаємин людини з ЕОМ(електронна обчислювальна машина), включаючи теорію і практику програмування завдань для ЕОМ(електронна обчислювальна машина), у тому числі автоматизацію програмування завдань для ЕОМ(електронна обчислювальна машина).
Аналіз математичних моделей включає вивчення постановки завдання, вибір моделі, аналіз і обробку вхідної інформації, чисельне вирішення математичних завдань, що виникають у зв'язку з дослідженням моделі, аналіз результатів обчислень, і, нарешті, питання, пов'язані з реалізацією отриманих результатів. Завдання вибору моделі повинна вирішуватися з врахуванням наступної вимоги. Міра достовірності, з якою результати аналізу моделі дозволяють досліджувати конкретне явище (або клас явищ), повинна відповідати точності вихідної інформації. При цьому з появою можливості отримувати точнішу інформацію зазвичай виникає необхідність вдосконалення побудованої моделі, а у ряді випадків навіть корінної її заміни. Для цих завдань набуває істотного значення обробка вихідній інформації, що в більшості випадків вимагає залучення методів математичної статистики. Математичні моделі зіграли важливу роль в розвитку природознавства; в даний час використання математичних моделей є істотним чинником в широкому діапазоні людської діяльності (у тому числі в питаннях управління, планерування, прогнозування і т.д.).
Вивчення реальних явищ на основі аналізу побудованих моделей як правило, вимагає розвитку чисельних методів і залучення ЕОМ(електронна обчислювальна машина). Таким чином, в Ст м. важливе місце займають чисельні методи вирішення поставлених математичних завдань і в першу чергу типових математичних завдань (Ст м. у вузькому сенсі слова).
Як приклад типових математичних завдань, що часто зустрічаються в додатках, можна назвати завдання алгебри: тут велике значення мають чисельні методи вирішення систем лінійних рівнянь (зокрема, великих систем) алгебри, звернення матриць, знаходження власних значень матриць (як декількох перших значень — обмежена проблема власних значень, так і знаходження всіх власних значень — повна проблема власних значень). Інші приклади — чисельні методи диференціювання і інтеграції функцій одного або декількох змінних; чисельні методи вирішення звичайних диференціальних рівнянь (сюди включають, зокрема, вивчення і порівняльний аналіз чисельних методів різних типів, наприклад, Адамса, Рунге — Кутта). Значне число досліджень присвячене чисельним методам вирішення рівнянь з приватними похідними. Тут великий напрям складають «економічні методи», тобто методи, що дозволяють отримувати результати відносно малому (економному) числі операцій.
напрямом Ст м., що Швидко розвивається, є чисельні методи оптимізації. Завдання оптимізації полягає у вивченні екстремальних (найбільших або найменших) значень функціоналів на безлічі, як правило, вельми складної структури. В першу чергу слід згадати завдання математичного програмування (у тому числі лінійного і динамічного), до яких зводиться багато хто завдання економіки. До завдань оптимізації примикають мінімаксні завдання (і відповідні чисельні методи), що виникають при вирішенні завдань дослідження операцій (див. Операцій дослідження ) і теорії ігор (див. Ігор теорія ). Особливо складні завдання типа minmaxminmax виникають при вирішенні багатокрокових (що динамічно розвиваються) ігор. Тут навіть математичний експеримент (програвання варіантів поведінки тих, що грають) неможливий без використання потужних ЕОМ(електронна обчислювальна машина).
Застосування ЕОМ(електронна обчислювальна машина) до вирішення складних завдань, особливо завдань великих розмірів, викликало до життя один з головних напрямів в теорії чисельних методів — дослідження стійкості методів і алгоритмів до різного роду помилкам (у тому числі до помилок округлення).
Зворотні завдання, наприклад, завдання визначення елементу х з рівняння Ах = b при відомій інформації про оператора А і елементі b , часто є нестійкими (некоректно поставленими) завданнями (малим погрішностям у вхідних даних можуть відповідати великі погрішності в х ). Більш того, зворотні завдання часто мають рішення не для всіх b , тому, задаючи наближене значення b , слід враховувати, що формальне рішення цієї задачі може не існувати.
Нестійкі завдання зажадали спеціального визначення поняття наближених рішень і розвитку відповідних методів для їх знаходження. До нестійких завдань відноситься широкий клас завдань, пов'язаних з проблемами автоматизації обробки результатів експериментів.
В більшості розділів Ст м. важливе місце займають питання оптимізації методів вирішення завдань. Особливо це істотно для завдань більшого об'єму (наприклад, з великим числом змінних).
Вживання ЕОМ(електронна обчислювальна машина) безперервно розширює круг користувачів і тому виникає тенденція такої міри автоматизації, при якій стає менш істотним знайомство користувачів з чисельними методами. Це пред'являє нові вимоги до алгоритмів, їх класифікації і до стандартних програмам вирішення типових завдань.
В даний час виділився ряд напрямів прикладної науки, де сучасні темпи науково-технічного прогресу були б немислимі без розвитку чисельних методів і вживання ЕОМ(електронна обчислювальна машина).
Основним завданням теорії програмування можна рахувати полегшення стосунків людини з машиною, хоча цей погляд і конкретний напрям досліджень зазнають радикальні зміни з розвитком обчислювальної техніки. Зміна ряду поколінь обчислювальних машин зумовила зміну трьох етапів в розвитку програмування.
Від складання програм на внутрішній мові машини програмування швидко перейшло до складання стандартних програм вирішення типових завдань і комплексів таких програм. При їх вживанні для широкого класу завдань відпадає необхідність в програмуванні методу рішення; досить лише обмежитися завданням вихідній інформації. Проте завдання такій інформації, а також написання нестандартних блоків все одно вимагають істотного об'єму програмування на мові машини.
Поява машин наступного покоління з великою швидкодією супроводилася зростанням числа завдань, що пред'являються до рішення; в результаті цього виникло вузьке місце системи чоловік — машина: швидкість програмування. Це викликало до життя новий етап программірованія— створення алгоритмічних мов з трансляторами для перекладу з алгоритмічної мови на внутрішню мову машини. Унаслідок більшої близькості алгоритмічних мов до загальнолюдського їх впровадження спростило програмування і істотно розширило круг користувачів.
Поряд із створенням універсальних алгоритмічних мов (алгол, фортан) був розроблений ряд проблемно-орієнтованих мов для певного круга користувачів, наприклад пов'язаних із завданнями обробки економічної інформації, Створення спеціалізованих мов викликане наступним: універсальні мови і транслятори, призначені для вирішення широкого класу завдань, інколи слабо зважають на специфіку окремих важливих класів завдань, що знижує ефективність використання всіх можливостей машини.
При подальшому підвищенні швидкості ЕОМ(електронна обчислювальна машина) вузьким местомом системи чоловік — машина сталі пристрою для введення і виведення інформації; їх повільна робота зводила нанівець високопродуктивну роботу центрального пристрою. Необхідність подолання цього протиріччя з'явилася одній з причин створення систем одночасного рішення на машині декількох завдань. Іншою причиною була вимога одночасної роботи на машині великого колективу користувачів (зокрема, останнє особливо істотно при вживанні ЕОМ(електронна обчислювальна машина) в автоматизованих системах управління). Все це разом з рядом інших причин зумовило появу нового етапу програмування — системного програмування. Основним завданням системного програмування є створення операційних систем, керівників роботою машини, програмним шляхом тих, що розширюють можливості машини і що надають користувачеві додаткове обслуговування, не передбачене апаратурою: можливість введення і виводу одночасно з вирішенням завдань, автоматизація редагування видачі, виведення графіків, робота з екраном, діалог з машиною, можливість одночасного рішення на машині багатьох завдань (система розділення часу).
Розвиток вживання ЕОМ(електронна обчислювальна машина) характерний також організацією роботи комплексів, що включають велике число машин, у тому числі машин різних типів, ввідні пристрої, канали зв'язки між машинами і користувачем, а частенько і фізичні установки. Такі високопродуктивні системи створюються, наприклад, для вирішення завдань економіки і обробки фізичних експериментів, вимагаючого введення і обробки великої кількості інформації.
Завдання розвитку обчислювальних систем, зокрема інформаційних систем і автоматизованих систем управління, є одній з найбільш актуальних наукових проблем.
