Пуассона рівняння, рівняння з приватними похідними вигляду D u = f, де D —оператор Лапласа:
При n = 3 цьому рівнянню задовольняє потенціал u ( х, в, z ) об'ємних мас, розподілених з щільністю f ( x, в, z )/4p (у областях, де f = 0 потенціал u задовольняє рівнянню Лапласа), а також потенціал об'ємно розподілених електричних зарядів. При цьому щільність розподілу f повинна задовольняти відомим вимогам гладкості (наприклад, умові безперервності приватних похідних). Якщо функція f відмінна від нуля лише в кінцевої області G, обмежена і має безперервні приватні похідні першого порядку, то при n = 2 приватне вирішення П. в. має вигляд:
а при n = 3:
де r ( А , Р ) — відстань між змінною точкою інтеграції А і деякою точкою Р . У детальнішому записі
V ( х, в, z ) =
Вирішення краєвих завдань для П. в. зводиться підстановкою до рішення краєвих завдань для рівняння Лапласа Dw = 0.
П. в. вперше (1812) було вивчено С. Д. Пуассоном .
