Потенціал, потенційна функція, поняття, що характеризує широкий клас фізичних силових полів (електричне, гравітаційне і т.п.) і взагалі поля фізичних величин, що представляються векторами (поле швидкостей в рідині і т.п.). У електростатичне поле П. вводиться як допоміжна функція, просторові похідні якої — компоненти напруженості електричного поля в даній крапці; у гідродинаміці — компоненти швидкості в даній точці і т.п. При цьому П. у ряді випадків має і ін. важливий фізичний сенс. Так, в електростатичному полі він чисельно дорівнює енергії, необхідній для видалення одиничного позитивного заряду з даної крапки в нескінченність (із зворотним знаком).
В загальному випадку П. векторного поля а ( х, в, z ) — скалярна функція u ( х, в, z ) , така, що а = grad u, тобто де a x , a в , a z ; — компоненти поля а в системі декартових координат Oxyz. Якщо таку функцію можна ввести, то векторне поле а називають потенційним. Інколи П. називають функцію U = — u (наприклад, в електростатиці). П. векторного поля а визначається не однозначно, а з точністю до постійного доданку. Тому при вивченні потенційного поля представляють інтерес лише різниці П. в різних точках поля. Рівняння u ( х, в, z ) = з геометрично представляє поверхню, в усіх точках якою П. має однакову величину; такі поверхні називають поверхнями рівня, або еквіпотенціальними поверхнями.
Для поля тяжіння, утвореного поміщеною в точку A (x, h, x) точковою масою m, П. (ньютонов П.) має в точці Р ( х, в, z ) вигляд:
u ( х, в, z ) = Gm/r, (1)
де, G — постійна тяжіння. При накладенні полий їх П. алгебра складаються. Якщо поле тяжіння обумовлене деякою масою щільності r(x, h, x), що займає об'єм Т, те його можна розглядати як результат накладення елементарних полів, утворених нескінченно малими тілами маси r d x d h d x . Ньютоновий П. такого поля представляється інтегралом
. (2)
П. u ( х, в, z ) — безперервна функція у всьому просторі разом зі своїми приватними похідними 1-го порядку; поза тілом об'єму Т функція u ( х, в, z ) задовольняє Лапласа рівнянню усередині — Пуассона рівнянню .
Якщо притягуючі маси розподілені з щільністю r пов по поверхні S (простий шар), то П. утвореного ними поля виражається інтегралом
. (3)
П. простого шару u( x, в, z ) — безперервна у всьому просторі функція; при пересіченні поверхні S нормальна похідна функції w( х, в, z ) випробовує розрив, рівний 4pg/r пов . Необмежено зближуючи дві поверхні, на яких розташовані прості шари з щільністю r пов і —r пов , і одночасно збільшуючи r пов до безкінечності, але так, щоб була кінцевою межа = m, де n — нормальна відстань між поверхнями, приходять до поняття П. подвійного шаруючи:
(4)
П. подвійного шару w( х, в, z ) — безперервна функція у всьому просторі зовні S; при пересіченні поверхні S функція w( х, в, z ) випробовує розрив, рівний 4pgm. Функції u( х, в, z ) і w( х, в, z ) задовольняють рівнянню Лапласа.
Якщо тіло об'єму Т — безконечний циліндр з поперечним перетином D і щільність r речовини циліндра постійна уздовж кожної прямої, паралельної створюючим циліндра, то формула (2) приводить до поняття логарифмічного потенціалу:
u ( х, в ) = . (5)
У вигляді суми П. простого і подвійного шарів може бути представлена будь-яка гармонійна функція ; цим пояснюється важливість теорії П.
Літ.: Гюнтер Н. М., Теорія потенціалу і її застосування до основних завдань математичної фізики, М., 1953; Сретенський Л. Н., Теорія ньютонівського потенціалу, М. — Л., 1946; Тамм І. Е., Основи теорії електрики, 7 видавництво, М., 1957; Ідельсон Н. І., Теорія потенціалу з додатками до теорії фігури Землі і геофізики, 2 видавництва, Л. — М., 1936.
