«Початку» Евкліда (греч. Stoichéia, буквально — азбука; переносне значення — основні початки), науковий твір, написаний Евклідом в 3 ст до н.е.(наша ера), що містить основи античної математики: елементарної геометрії, теорії чисел, алгебри, загальної теорії стосунків і методу визначення площ і об'ємів, що включало елементи теорії меж. Евклід підвів в цьому вигадуванні підсумок трьохсотрічному розвитку грецької математики і створив міцний фундамент для подальших математичних досліджень. «Н.» Е. немає, проте, енциклопедією математичних знань своєї епохи. Так, в «Н.» Е. не викладається теорія конічних перетинів, яка була тоді досить розвинена, відсутні тут і обчислювальні методи.
«Н.» Е. побудовані по дедуктивній системі: спочатку приводяться визначення, постулати і аксіоми, потім формулювання теорем і їх доказу (див. Дедукція ) . Услід за визначенням основних геометричних понять і об'єктів (наприклад, крапки, прямої) Евклід доводить існування останніх об'єктів геометрії (наприклад, рівностороннього трикутника) шляхом їх побудови, яка виконується на підставі п'яти постулатів. У постулатах затверджується можливість виконання деяких елементарних побудов, наприклад «що від всякої крапки до всякої крапки (можна) провести пряму лінію» (1 постулат); «І що від всякого центру і всяким розчином (можливо) описаний круг» (III постулат). Особливе місце серед постулатів займає V постулат (аксіома про паралельних): «І якщо пряма, падаюча на дві прямі, утворює внутрішні і по одну сторону кути, менші два прямих, то продовжені ці прямі необмежено зустрінуться з тією стороною, де кути менше двох прямих». Відносна складність формулювання привела до прагнення багатьох математиків (на протязі майже 2 тис. років) вивести його як теорему з ін. основних положень геометрії. Спроби довести V постулат продовжувалися аж до робіт Н. І. Лобачевського, що побудував першу систему нєєвклідової геометрії, в якій цей постулат не виконується (див. Лобачевського геометрія ) . За постулатами в «Н.» Е. приводяться аксіоми — пропозиції про властивості стосунків рівності і нерівності між величинами. Наприклад: «Рівні одному і тому ж дорівнюють і між собою» (1-я аксіома); «І ціле більше частини» (8-я аксіома).
З сучасної точки зору система аксіом і постулатів «Н.» Е. недостатня для дедуктивної побудови геометрії. Так, тут немає ні аксіом руху, ні аксіом конгруентності (за винятком однієї). Відсутні також аксіоми розташування і безперервності. Фактично ж Евклід використовує при доказах і рух і безперервність. Логічні недоліки побудови «Н.» Е. повністю з'ясувалися лише в кінці 19 ст після робіт Д. Гильберта (див. Евклід геометрія ) . До цього впродовж більше 2 тис. років «Н.» Е. служили зразком наукової строгості; по цій книзі в повному або в скороченому і переробленому вигляді вивчали геометрію.
«Н.» Е. складаються з тринадцяти книг (відділів, або частин). У книзі I розглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів і виробляється порівняння їх площ. Закінчується книга Піфагора теоремою . В книзі II викладається так звана геометрична алгебра, тобто будується геометричний апарат для вирішення завдань, що зводяться до квадратних рівнянь (символіка алгебри в «Н.» Е. відсутній). У книзі III розглядаються властивості круга, його дотичних і хорд (ці проблеми були досліджені Гіппократом Хиосським в 2-ій половині 5 ст до н.е.(наша ера)), в книзі IV — правильні багатокутники. У книзі V дається загальна теорія стосунків величин, створена Евдоксом Кнідським ; її можна розглядати як прообраз теорії дійсних чисел, розробленої лише в 2-ій половині 19 ст Загальна теорія стосунків є основою вчення про подібність (книга VI) і методу вичерпання (книга VII), також висхідних до Евдоксу. У книгах VII—IX викладені початки теорії чисел, засновані на алгоритмі знаходження найбільшого загального дільника (Евкліда алгоритмі ) . В ці книги входить теорія подільності, включаючи теореми про однозначність розкладання цілого числа на прості множники і про нескінченність числа простих чисел; тут викладається також вчення про відношення цілих чисел, еквівалентне, по суті, теорії раціональних (позитивних) чисел. У книзі Х дається класифікація квадратичних і біквадратічних іррациональностей і обгрунтовуються деякі правила їх перетворення. Результати книги Х застосовуються в книзі XIII для знаходження довжин ребер правильних многогранників. Значна частина книг Х і XIII (ймовірно і VII) належить Теетету (почало 4 ст до н.е.(наша ера)). У книзі XI викладаються основи стереометрії. У книзі XII визначаються за допомогою методу вичерпання відношення площ двох кругів і відношення об'ємів піраміди і призми, конуса і циліндра. Ці теореми вперше доведені Евдоксом. Нарешті, в книзі XIII визначається відношення об'ємів двох куль, будуються п'ять правильних многогранників і доводиться, що інших правильних тіл не існує. Подальшими грецькими математиками до «Н.» Е. були приєднані книги XIV і XV, що не належали Евкліду. Вони незрідка і тепер видаються спільно з основним текстом «Н.» Е.
«Н.» Е. здобули широку популярність вже в давнину. Архімед, Аполонії Пергський і ін. учені спиралися на них при своїх дослідженнях в області математики і механіки. До нашого часу античний текст «Н.» Е. не дійшов (прадавня з копій, що збереглися, відноситься до 2-ої половини 9 ст). В кінці 8 ст — початку 9 ст з'являються переведення «Н.» Е. на арабську мову. Перший переклад латинською мовою був зроблений з арабського Ателхардом Батським в 1-ій чверті 12 ст Старовинні списки відрізняються істотними різночитаннями; справжній текст «Н.» Е. точно не відновлений. Перше друкарське видання «Н.» Е. у переведенні Дж. Кампано на латинську мову з'явилося у Венеції в 1482 з кресленнями на полях книги (переведення було виконане близько 1250—1260; Кампано використовував як арабські джерела, так і переведення Ателхарда Батського). Найкращим в даний час вважається видання І. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1—5, Lipsiae, 1883—88), в якому приводиться як греч.(грецький) текст, так і його лат.(латинський) переведення. Російською мовою «Н.» Е. видавалися багато разів починаючи з 18 ст Краще видання — «Початки Евкліда», пер.(переведення) з греч.(грецький) і коментарі Д. Д. Мордухай-Болтовського, т. 1—3, 1948—50.
Літ.: Історія математики з прадавніх часів до початку нового часу, т. 1, М., 1970.
