Лінійне перетворення змінних x 1 , x 2 ..., x n — заміна цих змінних на нові x'' 1 , x’ 2 ..., x'' n , через які первинні змінні виражаються лінійно, тобто по формулах:
x 1 = a 11 x’ 1 + a 12 x’ 2 + ... + a nn x’ n + b 1 ,
x 2 = a 21 x’ 1 + a 22 x’ 2 + ... + a 2n x’ n + b 2 ,
...
x n = a n1 x’ 1 + an2 x’ 2 + ... + a nn x’ n + b n ,
тут a ij і b i ( i, j = 1,2 ..., n ) — довільні числові коефіцієнти. Якщо b 1 , b 2 ..., b n всі дорівнюють нулю, то Л. п. змінних називають однорідним.
Простим прикладом Л. п. змінних можуть служити формули перетворення прямокутних координат на плоскості
х = x'' cos a - y'' sin a + а,
в = x'' sin a + y'' cos a + b.
Якщо визначник D = ½ a ij ½, складений з коефіцієнтів при змінних, не дорівнює нулю, то можна і нові змінні x'' 1 , x'' 2 ..., x'' n лінійно виразити через старих. Наприклад, для формул перетворення прямокутних координат
і
x’ =x cos a + ysin a + a 1
в’ = -х sin a + cos a + b 1
де a 1 = - а cos a - b sin a, b 2 = а sin a - b cos ( . Іншими прикладами Л. п. змінних можуть служити перетворення аффінних і однорідних проектних координат, заміна змінних при перетворенні квадратичних форм і тому подібне
Л. п. векторів (або Л. п. векторного простору ) називають закон, по якому вектору х з n -мерного простори ставлять у відповідність новий вектор x '', координати якого лінійно і однорідно виражаються через координати вектора х :
x’ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... +a 1n x n
x’ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... +a 2n x n
...
x’ n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... +a nn x n ,
або коротко
x'' = Ax.
Наприклад , операція проектування на одну з координатних плоскості (хай на плоскість хОу) буде Л. п. тривимірного векторного простору: кожному вектору а з координатами х, в, z зіставляється новий вектор b , координати x'', y''., z'' якого виражаються через х, в, z таким чином : x'' = х, y'' = в , z'' = 0. Приклад Л. п. плоскості — поворот її на кут а довкола початки координат. Матрицю
,
складену з коефіцієнтів Л. п. А , називають його матрицею. Матрицями приведених вище Л. п. проектування і повороту будуть відповідно
і .
Л. п. векторного простору можна визначити (як завжди поступають) без використання системи координат: відповідність х ® в = Ax називають Л. п., якщо виконуються умови А ( х + в ) = Ax + Ау і A (a x ) = a А ( х ) для будь-яких векторів х і в і будь-якого числа а. У різних системах координат одному і тому ж Л. п. відповідатимуть різні матриці і, отже, різні формули для перетворення координат.
До Л. п. відноситься, зокрема, нульове Л. п. Про, що переводить всі вектори в 0 (нульовий вектор) : Ox = 0 і одиничне Л. п. Е, що залишає всі вектори без зміни: Ex = х ; цим Л. і. у будь-якій системі координат відповідають нульова і одинична матриці.
Для Л. п. векторного простору природним чином визначаються операції складання і множення: сумою двох Л. п. А і В називають Л. п. З, що переводить будь-який вектор х у вектор Cx = Ax + Вх; твором Л. п. А і В називають результат їх послідовного вживання: З = AB , якщо Cx = А ( В х ) .
Через ці визначення сукупність всіх Л. п. векторного простору утворює кільце . Матриця суми (твори) Л. п. дорівнює сумі (твору) матриць Л. п. доданків (співмножників); при цьому существен порядок множників, оскільки твір Л. і., як і матриць, не володіє властивістю комутативності . Л. п. можна також умножати на числа: якщо Л. п. А переводить вектор х у вектор в = Ax, те a А переводіт х в a в . Приклади операцій над Л. п.: 1) Хай А і В означають операції проектування па осі Ox і Оу в тривимірному просторі; А + У буде проектуванням на плоскість хОу, а AB = 0. 2) А і В — повороти плоскості довкола початки координат на кути j і ; AB буде поворотом на кут j + . 3) Твір одиничного Л. п. Е на число а буде перетворенням подібності з коефіцієнтом розтягування (або стискування) а.
Л. п. В називають зворотним до Л. п. А (і позначають А -1 ), якщо BA = Е (або AB = Е ). Якщо Л. п. А переводило вектор х у вектор в, то Л. п. А - 1 переводить в назад в х. Л. п., що володіє зворотним, називають невиродженим; такі Л. п. характеризуються також тим, що визначник їх матриці не дорівнює нулю. Деякі класи Л. на п. заслуговують особливої згадки. Узагальненням поворотів двовимірних і тривимірних евклідових просторів є ортогональні (або унітарні — в комплексних просторах) Л. п. Ортогональні Л. п. не змінюють довжин векторів (а отже, і кутів між ними). Матриці цих Л. п. в ортонормованій системі координат також називаються ортогональними (унітарними): твір ортогональної матриці на її транспоновану дає одиничну матрицю: å до a ik a jk = å до a ki a kj = 0 при i ¹ j å до a 2 ik = å до a 2 ki = 1 (у комплексному просторі å до a ik jk = å до a ki kj = 0 å до |a jk | 2 = å до |a ki | 2 = 1). Симетричним (ермітовим, або самосопряженним, — в комплексному просторі) Л. п. називають таке Л. п., матриця якого симетрична: a ij = a ji (або (a ij = ij ). Симетричні Л. п. здійснюють розтягування простору з різними коефіцієнтами по неськ.(декілька) взаємно ортогональним напрямам. З симетричними Л. п. зв'язана теорія квадратичних форм (або ермітових форм в комплексному просторі).
Приведене вище визначення Л. п. у векторному просторі, що не використовує координатну систему, без всяких змін поширюється і на безконечномірні (зокрема, функціональні) простори. Л. п. в безконечномірних просторах прийнято називати лінійними операторами .
Літ.: Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії..., М., 1968; Мальцев А. І., Основи лінійної алгебри, 3 видавництва, М., 1970; Ефімов Н. Ст, Розендорн Е. P., Лінійна алгебра і багатовимірна геометрія, М., 1970.
