Кільце алгебра, одне з основних понять сучасної алгебри. Простими прикладами До. можуть служити вказані нижче системи (безліч) чисел, складання, що розглядаються разом з операціями, і множення: 1) безліч всіх цілих позитивних, негативних чисел і нуля; 2) безліч всіх парних чисел і взагалі цілих чисел, кратних даному числу n , 3) безліч всіх раціональних чисел. Загальним в цих трьох прикладах є те, що складання і множення чисел, що входять в систему, не виводять за межі системи (слід зазначити, що і віднімання не виводить за межі системи). У різних областях математики часто доводиться мати справу зі всілякою безліччю (вони можуть полягати, наприклад, з многочленів або матриць, див.(дивися) приклади 7 і 9), над елементами яких можна виробляти дві операції, вельми схожі по своїх властивостях на складання і множення звичайних чисел. Предметом теорії До. є вивчення властивостей обширного класу такого роду безлічі.
Кільцем називають непорожню безліч R, для елементів якого визначено дві операції — складання і множення, що зіставляють будь-яким двом елементам а, b з R, узятим в певному порядку, один елемент а + b з R — їх суму і один елемент ab з R — їх твір, причому передбачаються виконаними наступні умови (аксіоми До.):
I. Комутативність складання:
а+b=b+ а.
II. Асоціативність складання:
а + ( b + з ) = ( а + b ) + с.
III. Оборотність складання (можливість віднімання): рівняння а + х = b допускає вирішення х = b—a.
IV. Дистрибутивність: а ( b + з ) = ab+ac, ( b + з ) а = ba + са.
Перераховані властивості показують, що елементи До. утворюють комутативну групу відносно складання. Подальшими прикладами До. може служити безліч; 4) всіх дійсних чисел; 5) всіх комплексних чисел; 6) комплексних чисел вигляду а + bi з цілими а, b ; 7) многочленів від одного змінного х з раціональними, дійсними або комплексними коефіцієнтами; 8) всіх функцій, безперервних на даному відрізку числової прямої; 9) всіх квадратних матриць порядку n з дійсними (або комплексними) елементами; 10) всіх кватерніонов ; 11) всіх чисел Келі — Діксону, тобто виразів вигляду а + b е, де a, b — кватерніони, е — буква; складання і множення чисел Келі — Діксону визначаються рівністю (а + bе) + (a 1 + b 1 e) = (а + a 1 ) + (b + b 1 ) e (а + bе)(a 1 + b 1 e) = (aa 1 — b 1 ) + (aa 1 + b) e, де — кватерніон, зв'язаний до а; 12) всіх симетричних матриць порядку n з дійсними елементами відносно операцій складання матриць і «йорданового» множення а · b = ( аb + ba ); 13) векторів тривимірного простору при звичайному складанні і векторному множенні.
У багатьох випадках на множення в До. накладаються додаткові обмеження. Так, якщо а ( bc ) = ( ab ) з, те До. називають асоціативним (приклади 1—10); якщо в До. виконується рівність ( aa ) b = а ( ab ) , ( ab ) b = а ( bb ) , те воно називається альтернативним кільцем (приклад 11); якщо в До. виконується рівність ab = ba, ( ab ) ( аа ) = (( аа ) b ) а, те воно називається йордановим кільцем (приклад 12); якщо в До. виконується рівність а ( bc ) + b ( ca ) + з ( аb ) = 0, а 2 = 0, те воно називається кільцем Лі (приклад 13); якщо ab = ba, те До. називають комутативним (приклади 1—8, 12). Операції складання і множення в До. багато в чому схожі по своїх властивостях на відповідні операції над числами. Так, елементи До. можна не лише складати, але і віднімати; існує елемент 0 (нуль) із звичайними властивостями; для будь-якого елементу а існує протилежний, тобто такий елемент — а, що а + (— а ) = 0; твір будь-якого елементу на елемент 0 завжди дорівнює нулю. Проте на прикладах 8—9, 12—13 можна переконатися, що До. може містити відмінні від нуля елементи а, b, твір яких дорівнює нулю: ab = 0; такі елементи називають дільниками нуля. Асоціативне комутативне До. без дільників нуля називають областю цілісності (приклади 1—7). Так само, як і в області цілих чисел, не у всякому До. можливе ділення одного елементу на іншій, якщо ж це можливо, тобто якщо завжди вирішувані рівняння ах = b і уа = b при а ¹0, то До. називають тілом (приклади 3—5, 10, 11). Асоціативне комутативне тіло прийнято називати полем (приклади 3— 5) (див. Поле алгебра). Вельми важливі для багатьох відділів алгебри До. многочленів з одним або декількома змінними над довільним полем і К. матриць над асоціативними тілами, визначувані аналогічно До. прикладів 7 і 9. Багато класів До. все частіше знаходять додатки і поза алгеброю. Найважливішими з них є: До. функцій і К. операторів що зіграли велику роль в розвитку функціонального аналізу; альтернативні тіла, вживані в проектній геометрії; так звані диференціальні До. і поля, що відобразили цікаву спробу застосувати теорію. до диференціальних рівнянь.
При вивченні До. велике значення мають ті або інші способи звірення один з одним різних К. Однім з найбільш плідних є гомоморфне відображення (гомоморфізм), тобто таке однозначне відображення R ® R'' кільця R на кільце R'', що з а ® a'', b ® b'' слідує а + b ® a'' +b'' і ab ® a''b''. Якщо це відображення також і взаємно однозначне, то воно називається ізоморфізмом, а кільця R і R'' ізоморфними. Ізоморфні До. володіють однаковими властивостями алгебри.
Безліч М-коду елементів кільця R називають підкільцем, якщо М-код само є До. відносно операцій, визначених в R. Підкільце М-коду називають лівим (правим або двостороннім) ідеалом кільця R, якщо для будь-яких елементів т з М-коду і r з R твір rm (відповідно mr або як rm, так і mr ) лежить в М. Елементи а і b кільця R називають порівнянними по ідеалу М-коду якщо а — b належить М. Все До. розбивається на класи порівнянних елементів — класи вирахувань по ідеалу М. Якщо визначити складання і множення класів вирахувань по двосторонньому ідеалу М-коду через складання і множення елементів цих класів, то самі класи вирахувань утворюють До. — чинник кільце R/m кільця R по ідеалу М. Має місце теорема про гомоморфізм К.: якщо кожному елементу До. поставити у відповідність клас, що містить його, то отримують гомоморфне відображення кільця R на факторкольцо RM; назад, якщо R гомоморфний відображується на R'', те безліччю елементів з R, що відображуються в нуль кільця R'', буде двостороннім ідеалом в R, і R'' ізоморфно R/m.
Серед різних типів До. легше за інших піддаються вивченню і порівняно частіше знаходять додаток так звана алгебра: кільце R називають алгеброю над полем Р, якщо для будь-яких а з Р і r з R визначене твір ar також з R, причому (а + b) r = a r + b r , а(r + s ) = ar + a s, (ab) r = а, а( rs ) = (a r ) s = r (a s ) , er = r для будь-яких а, b з Р і r, s з R, де e — одиниця поля Р. Якщо всі елементи алгебри лінійно виражаються через n лінійно незалежних елементів (див. Лінійна залежність ) , те R називають алгеброю кінцевого рангу n, або гіперкомплексною системою (див. Гіперкомплексні числа ) . Прикладами алгебри можуть служити комплексні числа (алгебра рангу 2 над полем дійсних чисел), повне До. матриць з елементами з поля Р (яке є алгеброю рангу n 2 над Р ) , До. прикладу 10 (алгебра рангу 4 над полем дійсних чисел), До. прикладу 8 і ін.
Для цілих чисел і К. многочленів справедлива теорема про однозначну розкладність елементу в твір простих, т. с. далі не розкладних елементів. Ця теорема вірна для будь-яких До. головних ідеалів, тобто областей цілісності, в яких будь-який ідеал складається з кратних одного елементу. Окремим випадком таких До. є евклідові До., тобто До., де будь-якому елементу а ¹ 0 відповідає ненегативне ціле число n ( а ) , причому n ( ab ) ³ n ( а ) і для будь-яких а і b ¹ 0 існують такі q і r, що а = bq + r і або n ( r ) <n ( b ) , або r = 0. Такі, наприклад, До. многочленів і К. прикладів 1 і 6. Для широкого класу До. вірна теорема про однозначне розкладання ідеалу в твір простих ідеалів, хоча для самих елементів вона не виконується. Основи теорії розкладання ідеалів і абстрактних До. були закладені Е. Нетер (у 20-х рр. 20 ст).
Одним з перших в Росії теорією До. займався Е. І. Золотарев (70-і рр. 19 ст); його дослідження відносяться до числових До., а саме — до теорії розкладання ідеалів в них. У Радянському Союзі теорія До. розробляється в основному в трьох центрах: Москві, Новосибірську і Кишиневі.
Літ.: Курош А. Р., Курс вищої алгебра, 9 видавництво, М., 1968; Енциклопедія елементарної математики, кн. 1, М. — Л., 1951; Ван-дер-Варден Би. Л., Сучасна алгебра, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, ч. 1—2, М. — Л.,1947; Джекобсон Н., Будова кілець, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1961; Ленг С., Алгебра, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1968.
