A x до в l ...w m + Bx n y p ...w q + .. + Dx r t s ...w t ,
де х, в, ..., w — змінні, а А, В ..., D (коефіцієнти М.) і до, l ..., t (показники мір — цілі ненегативні числа) — постійні. Окремі доданки віда Ах до y l ...w m називаються членами М. Порядок членів, а також порядок множників в кожному членові можна міняти довільно; так само можна вводити або опускати члени з нульовими коефіцієнтами, а в кожному окремому членові — міри з нульовими показниками. У разі, коли М. має один, два або три члени, його називають одночленом, двочленом або тричленом. Два члени М. називаються подібними, якщо в них показники мір при однакових змінних попарно рівні. Подібні між собою члени
А''х до y l ...w m , B''x до y l ...w m ..., D''x до y l ...w m
можна замінити одним (приведення подібних членів). Два М. називаються рівними, якщо після приведення подібних всі члени з відмінними від нуля коефіцієнтами виявляються попарно однаковими (але, можливо, записаними в різному порядку), а також якщо всі коефіцієнти цих М. виявляються рівними нулю. У останньому випадку М. називається тотожним нулем і позначають знаком 0. М. від одного змінного х можна завжди записати у вигляді
P ( x ) = а 0 x n + а 1 x n -1 + ... + a n -1 x + a n ,
де а 0 , а 1 ..., а n — коефіцієнти.
Суму показників мір якого-небудь члена М. називають мірою цього члена. Якщо М. не тотожний нуль, то серед членів з відмінними від нуля коефіцієнтами (передбачається, що всі подібні члени приведені) є один або декілька найбільшої міри; цю найбільшу міру називають мірою М. Тождественний нуль не має міри. М. нульової міри зводиться до одного члена А (постійному, не рівному нулю). Приклади: xyz + х + в + z є многочлен третьої міри, 2 x + в — z + 1 є многочлен першого ступеня (лінійний М.), 5 x 2 — 2 x 2 — 3 х 2 не має міри, оскільки це тотожний нуль. М., всі члени якого однаковій мірі, називається однорідним М., або формою ; форми першого, другого і третього ступенів називаються лінійними, квадратичними, кубічнимі, а по числу змінних (два, три) двійковими (бінарними), трійчастими (тернарнимі) (наприклад, x 2 + в 2 + z 2 — ху — yz — xz є трійчаста квадратична форма).
Відносно коефіцієнтів М. передбачається, що вони належать певному полю (див. Поле алгебра), наприклад полю раціональних, дійсних або комплексних чисел. Виконуючи над М. дії складання, віднімання і множення на підставі переместітельного, сполучного і розподільного законів, отримують знову М. Таким образом, сукупність всіх М. з коефіцієнтами з даного поля утворює кільце (див. Кільце алгебра) — кільце многочленів над даним полемо; це кільце не має дільників нуля, тобто твір М., не рівних 0, не може дати 0.
Якщо для двох многочленів Р ( х ) і Q ( x ) можна знайти такий многочлен R ( x ), що Р = QR , то говорять, що Р ділиться на Q; Q називається дільником, а R — приватним. Якщо Р не ділиться на Q , то можна знайти такі многочлени Р ( х ) і S ( x ), що Р = QR + S , причому міра S ( x ) менше міри Q ( x ).
За допомогою повторного вживання цієї операції можна знаходити найбільшого загального дільника Р і Q , тобто такий дільник Р і Q , який ділиться на будь-якого загального дільника цих многочленів (див. Евкліда алгоритм ) . М., який можна представити у вигляді твору М. нижчих мір з коефіцієнтами з даного поля, називається таким, що приводиться (у даному полі), інакше — що не приводиться. М., що не приводяться, грають в кільці М. роль, схожу з простими числами в теорії цілих чисел. Так, наприклад, вірна теорема: якщо твір PQ ділиться на многочлен R, що не приводиться, , а P на R не ділиться, то тоді Q повинне ділитися на R . Кожен М. міри, більшої нуля, розкладається в даному полі в твір множників, що не приводяться, єдиним чином (з точністю до множників нульової міри). Наприклад, многочлен x 4 + 1, що не приводиться в полі раціональних чисел, розкладається на два множники
в полі дійсних чисел і на чотири множники в полі комплексних чисел. Взагалі кожен М. від одного змінного х розкладається в поле дійсних чисел на множники першого і другого ступеня, в полі комплексних чисел — на множники першого ступеня (основна теорема алгебри). Для двох і більшого числа змінних цього вже не можна затверджувати; наприклад, многочлен x 3 + yz 2 + z 3 не приводиться в будь-якому числовому полі.
Якщо змінним х, в ..., w надати певні числові значення (наприклад, дійсні або комплексні), то М. також набуде певного числового значення. Звідси витікає, що кожен М. можна розглядати як функцію відповідних змінних. Ця функція безперервна і діфференцируєма при будь-яких значеннях змінних; її можна характеризувати як цілу раціональну функцію, тобто функцію, що виходить із змінних і деяких постійних (коефіцієнтів) за допомогою виконаних в певному порядку дій складання, віднімання і множення. Цілі раціональні функції входять в ширший клас раціональних функцій, де до перерахованих дій приєднується ділення: будь-яку раціональну функцію можна представити у вигляді приватного двох М. Нарешті, раціональні функції містяться в класі функцій алгебри .
До числу найважливіших властивостей М. відноситься те, що будь-яку безперервну функцію можна з довільно малою помилкою замінити М. (теорема Вейерштраса; точне її формулювання вимагає, щоб дана функція була безперервна на якій-небудь обмеженій, замкнутій безлічі крапок, наприклад на відрізку числової осі). Цей факт, доводжуваний засобами математичного аналізу, дає можливість приблизно виражати М. будь-який зв'язок між величинами, що вивчається в якому-небудь питанні природознавства і техніка. Способи такого вираження досліджуються в спеціальних розділах математики (див. Наближення і інтерполяція функцій, Найменших квадратів метод ) .
В елементарній алгебрі многочленом інколи називаються такі вирази алгебри, в яких останнім дією є складання або віднімання, наприклад
Літ. : Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 9 видавництво, М., 1968; Мішина А. П., Проськуряков І. Ст, Вища алгебра, 2 видавництва, М., 1965.
